端点 Laplace 方法

换元把弯曲的相位拉直 ​

由 $p^{\prime }(a)>0$，可选 $\delta >0$，使 $p$ 在 $[a,a+\delta ]$ 上严格递增。令

逆函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。给出局部逆函数，而且 $dt=ds/p^{\prime }(T(s))$。近端积分成为

现在指数已经是 Watson 引理理路Watson 引理Watson's lemma · Watson lemma · Watson 引理（Laplace 积分）在指数加权尾部可控的条件下，把振幅在积分端点的局部幂次展开转成大参数 Laplace 积分的渐近展开。的标准形。只需算 $h(0)$ 与 $h^{\prime }(0)$：

第二个式子要用 $d/ds=(1/p^{\prime }(t))d/dt$。漏掉这个因子会把分母幂次写错。

为何剩下的区间可忽略？连续函数 $p(t)-p(a)$ 在紧区间 $[a+\delta ,b]$ 上有正的最小值 $\eta$。因此该段积分的绝对值至多是

比括号内的每个固定负幂都小。这是“唯一全局极小”进入证明的地方。局部 Taylor 展开单独无法排除别处还有更低的谷底。

算一个弯曲端点 ​

取

这里 $p(0)=0,p^{\prime }(0)=1,p^{″}(0)=2,q=1$，所以

还能看见全部系数来自哪里。换元 $s=t+t^2$，有

因此第三项是 $6\cdot 2!{\lambda }^{-3}=12{\lambda }^{-3}$。振幅的 Taylor 系数与积分后的系数相差一个阶乘。

当 $\lambda =32$ 时，两项近似为 $1/32-2/{32}^2=0.029296875$，高精度积分约为 $0.0295815478642$。两者差约 $2.85\times {10}^{-4}$，与下一项 $12/{32}^3\approx 3.66\times {10}^{-4}$ 的尺度相符。不过仅凭这个吻合不能把下一项自动当作严格误差界；要得到证书，需要再界定 $h$ 的余项。

振幅消失与相位变平 ​

若 $q(t)=t$、$p(t)=t$、区间为 $[0,1]$，首系数为零，直接积分得到

主项为 ${\lambda }^{-2}$。重要区域仍宽约 ${\lambda }^{-1}$，但振幅在这个区域内也只有 ${\lambda }^{-1}$ 大，二者相乘改变了积分阶数。

若相位改为 $p(t)=t^2$，则 $p^{\prime }(0)=0$，本页公式中的分母不再合法。换元 $u=\sqrt{\lambda }t$ 表明

更一般地，端点附近 $p(t)-p(a)\approx c(t-a{)}^m$ 时，宽度是 ${\lambda }^{-1/m}$；本页只处理 $m=1$ 的非驻定端点。若极小点靠近端点的距离也随 $\lambda$ 改变，则可能进入需要一致过渡公式的区间。

使用时保留哪些信息 ​

依次核查最小点位置、非零斜率、其他区域的相位间隙，再求局部换元后的振幅系数。右端点极小的情形可令 $u=b-t$，首项分母为 $|p^{\prime }(b)|$，不要把负斜率原样放入正振幅积分的答案。

数值计算时，可以先提出 $e^{-\lambda p(a)}$，只计算量级适中的缩放积分。如果这个指数已经下溢为零，应报告对数值或缩放值，而不是宣称原积分精确为零。内部 Laplace 方法理路内部 Laplace 方法Interior Laplace method · Laplace method at a nondegenerate minimum将实指数积分的非退化内部极小点放大成高斯轮廓，以局部曲率确定主贡献的宽度和常数。继续处理一阶导数消失、二阶导数为正的情况。