周期常微分方程的平均法

零均值让原函数每圈回到原位 ​

令

对固定 $x$，$g$ 在每个完整周期上的积分为零，因此 $u$ 也以 $P$ 为周期。只需在一圈上估计，便有

若不利用零均值，只用 $\Vert g\Vert \le 2M$，会把积分估成 $2Mt$，在 $t=T/\epsilon$ 时完全失去小量。周期相消是本方法获得长窗口的核心。

状态在移动，相消还剩多少 ​

真实解中的 $g(s,x(s))$ 不是固定状态下的周期函数，不能直接说每圈积分为零。沿轨道应用链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。：

因此

这里 $u(0,x_0)=0$。在 $t\le T/\epsilon$ 时，右端范数至多 $U+VMT$。它不再随 $1/\epsilon$ 爆长。

两条方程积分相减后，用平均场的 Lipschitz 常数 $L$，得到

Grönwall 不等式理路Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。给放大因子 $e^{\epsilon Lt}\le e^{LT}$，便证明式(2)。这次稳定系数本身含有 $\epsilon$，所以长窗口上仍受控。

一个相对误差也能精算的周期模型 ​

取

周期 $P=2\pi$，平均场为 $\overline{f}(x)=x$，因此

于是 $t\ge 0$ 时都有

而在 $0\le t\le T/\epsilon$ 上有绝对误差界

本例的 $f$ 在全空间不有界，但精确解已经证明两条轨道都留在 $[0,e^{T+1}]$ 内，可以使用前述局部版本。全时间上的相对界来自特殊的精确公式；绝对误差随 $e^{\epsilon t}$ 放大，不应宣称全时间绝对误差一致为 $O(\epsilon )$。

当周期也变长 ​

若改成 $\dot{x}=\epsilon \cos \left(\epsilon t\right)$、$x(0)=0$，按它自己的周期求平均仍为零，但解是 $x(t)=\sin \left(\epsilon t\right)$。在 $t=\pi /(2\epsilon )$，与零解的差为 1。

这里周期是 $2\pi /\epsilon$，不满足固定周期条件，原函数的界也变为 $O(1/\epsilon )$。失败可以直接定位到证明中的 $U$，而不是说“平均法有时不准”。

弱扰动振子常先消去无扰动的旋转，再对缓慢变化的振幅坐标应用式(1)。多重尺度法理路多重尺度法Method of multiple scales · Multiple-time-scale expansion把快振荡与慢振幅视为独立变量，通过消去共振长期项推导慢演化，再用精确解或平均定理验证长时间误差。通过无长期增长项的条件找出同样的慢演化；本页则提供一个明确的轨道误差定理。

一次周期积分必须包含 $1/P$。若用数值积分得到近似平均场，还要计入平均场误差：若其统一误差为 $\delta$，在 $T/\epsilon$ 上，经稳定性传播通常贡献 $O(T\delta e^{LT})$，不会额外自动多一个 $\epsilon$。要维持总体 $O(\epsilon )$，周期积分误差也应控制到相应精度。

这里平均的是确定向量场的一个周期，不是随机迭代输出的算术平均，也不是一条随机轨道的无限时间统计极限。终点脚本同时检验精确例子和变长周期反例，避免混淆适用窗口。