Tikhonov 奇异摄动定理

快变量很快趋向某个平衡，并不意味着可以在所有时刻把它删掉。Tikhonov 奇异摄动理论说明，在适当的吸引、光滑性和存在条件下，约化轨道怎样近似原轨道。本页证明一个常数明确的标量快变量版本：慢变量的误差从起点就小，快变量的误差还要等待初始失配衰减。

形式陈述

一个可完整证明的定量版本

考虑快慢系统

\dot x=f(x,z),\qquad \varepsilon\dot z=-a(x)[z-h(x)], \qquad x(0)=x_0,\ z(0)=z_0,\tag{1}

这里 $x,z$ 均为实数， $0<\varepsilon\le\varepsilon_0$ 。约化解满足

\dot{\bar x}=\bar f(\bar x),\qquad \bar f(x)=f(x,h(x)),\qquad\bar x(0)=x_0.

固定 $T>0$ 。假设这些解在 $[0,T]$ 存在，并有与参数无关的紧区间 $I,J$ ，使所有小参数下的 $x(t),\bar x(t)$ 留在 $I$ ， $z(t)$ 留在 $J$ ，且 $h(I)\subseteq J$ 。函数 $f$ 在矩形 $I\times J$ 的邻域、 $a,h$ 在 $I$ 的邻域内为 $C^1$ ，且以下常数与 $\varepsilon$ 无关：

$a(x)\ge a_0>0$ ， $|h'(x)|\le H$ ， $|f(x,z)|\le F$
$|f(x,z)-f(x,\tilde z)|\le L_z|z-\tilde z|$ ，用于轨道快状态与 $h(x)$ 的比较
$|\bar f(x)-\bar f(\tilde x)|\le L|x-\tilde x|$ ，用于真实与约化慢状态的比较

这些不等式须在实际比较的点对上成立；例如在一个共同矩形上给出导数界便足够。仅分别知道两条轨道上的导数有界，不自动保证连接它们的点对满足同一个 Lipschitz 界。

记 $e_0=z_0-h(x_0)$ 。则对 $0\le t\le T$ ，

|z(t)-h(x(t))| \le |e_0|e^{-a_0t/\varepsilon}+\frac{\varepsilon HF}{a_0},\tag{2}

|x(t)-\bar x(t)|\le K_T\varepsilon, \qquad K_T=\frac{L_z e^{LT}}{a_0}(|e_0|+HFT),\tag{3}

从而

|z(t)-h(\bar x(t))| \le |e_0|e^{-a_0t/\varepsilon} +\varepsilon\left(\frac{HF}{a_0}+HK_T\right).\tag{4}

这是本文证明的具体版本。一般 Tikhonov 定理还允许多维、非线性的快系统以及显式时间和参数依赖，需以一致稳定性、吸引域和光滑性条件替代这里的标量结构，不能直接从式(1)省略条件推广。

直觉

一个衰减项，一个移动目标造成的余差

令 $e=z-h(x)$ 。沿真实轨道求导得到

\dot e=-\frac{a(x(t))}{\varepsilon}e-h'(x(t))f(x(t),z(t)).

第一项以 $1/\varepsilon$ 速度消除偏差，第二项来自平衡目标 $h(x(t))$ 本身的移动。因而即使快初值恰好在平衡图像上，后续也通常会留下 $O(\varepsilon)$ 的跟踪误差。

对这条标量线性非齐次方程使用积分因子：

e(t)=e_0e^{-\varepsilon^{-1}\int_0^t a(x(r))dr} -\int_0^t e^{-\varepsilon^{-1}\int_s^t a(x(r))dr} h'(x(s))f(x(s),z(s))\,ds.

指数核不超过 $e^{-a_0(t-s)/\varepsilon}$ ，其积分至多 $\varepsilon/a_0$ ，直接得到式(2)。初始偏差还满足

\int_0^T |e_0|e^{-a_0s/\varepsilon}ds\le\frac{\varepsilon|e_0|}{a_0}.

它虽然在起点可能很大，却只在很短时间内作用于慢变量。

为什么慢变量从起点就有小误差

将 $f(x,z)$ 分成 $f(x,h(x))$ 与剩余项，积分后得

|x(t)-\bar x(t)| \le L\int_0^t|x(s)-\bar x(s)|ds +L_z\int_0^t|e(s)|ds.

式(2)给第二项上界 $L_z\varepsilon(|e_0|+HFT)/a_0$ 。再用 Grönwall 不等式便得式(3)。最后以

|z-h(\bar x)|\le|z-h(x)|+H|x-\bar x|

得到式(4)。三条界由同一误差分解逐步推出，不需要先假定“降维当然成立”。

例子与边界

三种时间声明必须分开

固定 $\delta>0$ 后，式(4)在 $[\delta,T]$ 上给快变量一致趋近约化状态。若希望进一步把初始项也压到 $O(\varepsilon)$ ，对 $0<\varepsilon<1$ 可取

t_\varepsilon=\frac{\varepsilon}{a_0}\log(1/\varepsilon).

在 $[t_\varepsilon,T]$ 上，初始项至多为 $|e_0|\varepsilon$ 。若 $e_0\ne0$ ，在含起点的区间上就不可能声称快变量误差一致为 $O(\varepsilon)$ ，因为 $t=0$ 的差恰为 $e_0$ 。如果 $e_0=0$ ，这道障碍消失。

将常数真正代入一个耦合系统

对 $\dot x=z$ 、 $\varepsilon\dot z=x-z$ 、 $(x,z)(0)=(1,0)$ ，有 $a_0=H=L_z=L=1$ 、 $e_0=-1$ 、 $\bar x=e^t$ 。区域 $0\le z\le x$ 向前不变：在 $z=0$ 有 $\dot z=x/\varepsilon\ge0$ ；在 $z=x$ 有 $(z-x)'=-x\le0$ 。于是 $1\le x(t)\le e^t$ ，可取 $F=e^T$ 。

因此一份明确的证书是

|x-e^t|\le\varepsilon e^T(1+Te^T),

|z-e^t|\le e^{-t/\varepsilon} +\varepsilon\bigl[e^T+e^T(1+Te^T)\bigr].

这份界较保守，却对整个声明窗口有效。用快慢系统页的精确解可以检查每个参数，而不需要把数值拟合当成定理。

条件失败时会怎样

若快方程改成 $\varepsilon\dot z=z-h(x)$ ，齐次误差是增长指数，式(2)的衰减核完全失效。若 $a(x)$ 沿轨道降到零，则统一 $a_0>0$ 不存在，初始层时间估计也失去依据。若轨道离开假设区域，所有常数必须重新核验。

式(3)中的 $e^{LT}$ 还明确提醒：这是固定窗口结论。把 $T$ 换成 $1/\varepsilon$ 后，右端可能不再小；无限时间的 Tikhonov 近似需要约化动力学的进一步稳定条件。

推论与应用

可复用的验证记录应包含四项：所选临界支路、快方向的统一吸引率、共同存在区域，以及最终观察窗口。只写“快变量设为平衡”会漏掉至少后三项。

终点任务分别输出慢变量的全窗口误差和快变量越过初始层后的误差，并强制检查 $t=0$ 的快误差仍等于 1。这个负向测试可及时发现把式(3)错误套到式(4)上的程序。

参考资料

A. N. Tikhonov, Systems of differential equations containing small parameters in the derivatives, Matematicheskii Sbornik 31(73):3 (1952), 575–586，理论的原始论文；本页式(1)–(4)是自足证明的限定版本。
Hassan K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd ed., 2002，§11.2 Time-Scale Properties of the Standard Model 与 §11.3 Singular Perturbation on the Infinite Interval；作者目录，有限与无限时间条件应分开阅读。

形式陈述 ​

一个可完整证明的定量版本 ​

一个衰减项，一个移动目标造成的余差 ​

为什么慢变量从起点就有小误差 ​

三种时间声明必须分开 ​

将常数真正代入一个耦合系统 ​

条件失败时会怎样 ​