快慢系统

快调整之后，目标还会移动 ​

若固定 $x$ 时，$z=h(x)$ 是吸引平衡，快变量会先靠近它。与此同时，慢变量并没有永久停住；$x$ 的移动不断改变目标 $h(x)$，使真实快变量通常只在它附近，而不是精确等于它。

例如 $\epsilon \dot{z}=x-z$ 的冻结解为

按指数稳定性理路平衡点稳定性Stability of an equilibrium初值受到小扰动时轨道保持接近或最终回到平衡点的性质。的定义，这个平衡以统一速率 1 吸引所有初值。改成 $\epsilon \dot{z}=z-x$，同一临界直线 $z=x$ 却变成排斥的，快速调整方向完全相反。

可以解出支路，还需检查吸引 ​

若 $g$ 光滑且 $D_{z}g(x_{\ast },z_{\ast },0)$ 可逆，隐函数定理理路隐函数定理Implicit function theorem当相关偏导块可逆时，方程组局部可把部分变量表示为其余变量的函数。在附近给出唯一光滑支路 $z=h(x)$。这一条件保证能把代数约束解出来；要得到冻结系统的局部指数吸引，还要检查该矩阵的全部特征值实部为负。

即便临界集合是一条光滑图像，它一般也不是正参数系统的精确不变集合。沿 $z=h(x)$ 运动要求 $\dot{z}=Dh(x)f(x,h(x),\epsilon )$，而原快方程给 $\epsilon \dot{z}=g(x,h(x),\epsilon )$，因此精确不变条件是

临界集合只保证左端在 $\epsilon =0$ 时为零，不保证这个正参数恒等式。特别地，若 $g$ 不显含 $\epsilon$，在临界图像上原方程给 $\dot{z}=0$，通常仍不等于移动图像所需的速度。正参数下真正的不变慢流形需要额外定理，不能把临界集合直接改名便得到。

两个相互耦合的变量 ​

取

临界集合是 $z=x$，约化解为 $\overline{x}=\overline{z}=e^t$。冻结 $x=1$ 得 $z_{\mathrm{fast}}(\tau )=1-e^{-\tau }$，解释了为何 $z(0)=0$ 与约化初值 1 的差不会在一开始就小。

用线性常微分方程组理路线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。求解式(1)，特征指数为

满足两条初值的精确解是

这里 $r_{+}=1-\epsilon +O({\epsilon }^2)$ 是慢指数，$r_{-}=-1/\epsilon -1+O(\epsilon )$ 是快衰减指数。数值计算小参数时，宜用等价式 $r_{+}=2/(1+\sqrt{1+4\epsilon })$，避免两个接近的数相减。

多支路和退化点 ​

对 $g(x,z,0)=x-z^2$，当 $x>0$ 时有两条支路 $z=\pm \sqrt{x}$。冻结导数为 $-2z$，正支路吸引、负支路排斥；在 $x=0$，导数为零，两条支路相遇，前面的可逆性与统一指数吸引都失效。把 $z$ 无条件替换成 $\sqrt{x}$ 会忽略初值所在吸引域，也会跨过公式的边界。

真正的降维交付不只是写出 $g=0$，而要给出选中的支路、快初值的吸引条件、观察时窗及逼近误差。Tikhonov 型定量定理理路Tikhonov 奇异摄动定理Tikhonov singular perturbation theorem · Tikhonov theorem for slow-fast systems在明确的指数吸引快变量模型中，证明慢变量的固定时窗误差，并把快变量的初始层与持续跟踪误差分开。接着证明：在一个清楚的指数吸引模型中，慢变量在固定窗口内有 $O(\epsilon )$ 误差，快变量则另带指数衰减的初始失配。

式(2)可作为求解器与渐近公式的共同测试数据。若删掉快模态，应检查 $t=0$ 及初始层；若只使用 $e^t$ 作为慢解，还应检查观察时间是否随参数增长。固定窗口定理中的常数依赖 $T$，并不自动给无限长时间的近似。