匹配渐近展开 | Codeboy's Blog

只算区间内部，可能漏掉边界条件；只把边界附近放大，又看不到整段形状。匹配渐近展开把这两张局部图接起来。连接点不是随意挑的一个数值位置，而是随参数变化、同时属于两种近似适用范围的重叠区。

形式陈述

\varepsilon y''+y'=1,\qquad y(0)=y(1)=0.

在固定 $x>0$ 的外部区域，首阶方程为 $y_0'=1$ 。右端没有衰减层，因此先施加 $y_0(1)=0$ ，得到

y_{\mathrm{out}}(x)=x-1.

左端用 $X=x/\varepsilon$ 放大，写 $Y_\varepsilon(X)=y_\varepsilon(\varepsilon X)$ 。首阶方程为 $Y_0''+Y_0'=0$ ，边界条件 $Y_0(0)=0$ 给

Y_0(X)=A(1-e^{-X}).

剩下的 $A$ 不能从局部方程决定。它表达的是边界过渡最终要走向哪个外部状态。

直觉

选择中间位置 $x=\sqrt\varepsilon\,\xi$ ，其中 $\xi>0$ 固定。此时

x\to0,\qquad X=x/\varepsilon=\xi/\sqrt\varepsilon\to\infty.

外解在这里趋向 $-1$ ，内解趋向 $A$ 。它们要描述同一条解，就必须有 $A=-1$ ，于是

y_{\mathrm{in}}(x)=-1+e^{-x/\varepsilon}.

平方根只是方便选择。任何满足 $\varepsilon\ll\eta(\varepsilon)\ll1$ 的中间尺度 $x=\eta(\varepsilon)\xi$ ，都会给出相同的首阶匹配常数。若不存在这样的共同区域，便不能照搬这个两区匹配过程。

这里的内外展开都是渐近展开，但固定的变量不同：外部固定 $x$ ，内部固定 $X$ 。比较高阶项时，必须先把它们改写到同一变量和同一精度，不能直接逐项对照两张不同坐标下的式子。

直接相加得到 $x-2+e^{-x/\varepsilon}$ ，常数 $-1$ 被计算了两次。共同部分恰为 $y_{\mathrm{overlap}}=-1$ ，所以首阶复合近似为

y_{\mathrm{comp}}=y_{\mathrm{out}}+y_{\mathrm{in}}-y_{\mathrm{overlap}} =x-1+e^{-x/\varepsilon}.\tag{1}

在内部固定 $x>0$ 时，指数项消失，恢复外解；在 $x=\varepsilon X$ 时，式(1)为 $-1+e^{-X}+\varepsilon X$ ，首阶恢复内解。减去重复部分正是使这两次核验同时成立的原因。

若只在某个固定位置拼接两条函数，可能留下值或导数的跳跃。式(1)是一条光滑公式，不需要人为指定接缝位置。

例子与边界

本例可用精确解把误差算到底。记 $q=e^{-1/\varepsilon}$ ，则

y_\varepsilon(x)=x-\frac{1-e^{-x/\varepsilon}}{1-q}, \qquad y_\varepsilon-y_{\mathrm{comp}} =-\frac{q(1-e^{-x/\varepsilon})}{1-q}.

右端绝对值随 $x$ 增大，在 $x=1$ 达到 $q$ ，所以

\boxed{\ \sup_{0\le x\le1}|y_\varepsilon-y_{\mathrm{comp}}|=e^{-1/\varepsilon}.\ }\tag{2}

在 $\varepsilon=0.1$ 时，这个最大误差约为 $4.5400\times10^{-5}$ ；仅用外解时，左端误差仍是 1。式(1)虽只满足 $y_{\mathrm{comp}}(1)=q$ ，未完全满足右端零边值，失配却已经指数小。

还有另一种检查方式：式(1)在内部精确满足原微分方程，误差只由右端边值 $-q$ 驱动。解这个齐次误差边值问题同样得到式(2)。这表明边界残差也必须纳入检验，不能只看微分方程残差。

推论与应用

一套可检验的构造依次包含：外部极限问题、内坐标和主导方程、重叠尺度、匹配常数、共同部分与复合式。最后应通过精确解、比较原理或稳定性估计，把方程及边界残差转成实际误差。前六步给出候选近似，最后一步才给误差证书。

多个边界层可能需要多次扣除共同项；层相遇、转向点、震荡尾部或不存在重叠区时，简单的“内加外减共同项”未必足够。即使首阶函数值能匹配，高阶导数也可能有另一种尺度。不要把式(2)的指数精度当作任意匹配问题的通用阶数。

终点任务要求复算式(2)，并故意把一阶导数符号翻转，检查能否重新确定层的位置，而不是机械套用左端模板。

参考资料

John K. Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation Theory, 2004，§4.3.4 Matching、§4.3.5 Uniformly valid solution。重叠区与复合构造参照这两节；本页受迫模型的精确误差另行推导。