闭合检验原理

强控制为什么只花一次 alpha ​

固定真实分布 $P$，令 $I_0=\{i:P\in H_i\}$。这就是未知的全部真零索引。若 $I_0$ 为空，不可能有错误拒绝。否则 $H_{I_0}$ 是一个真实交集，因此

在事件 $\{{\varphi }_{I_0}=0\}$ 上，每个真零 $i\in I_0$ 的闭合检查都包含 $I_0$ 这个节点，所以它们全部被挡住。于是

取概率便得强 FWER理路多重检验与族错误率Multiple testing · Familywise error rate · FWER同时检验多个假设时至少一次错误拒绝的概率及其 Bonferroni、Holm 控制。不超过 $\alpha$。同一推理还保护所有真实交集：若非空 $I\subseteq I_0$，其上层仍包含 $I_0$，也不能被闭合拒绝。

证明没有把 $2^m-1$ 个局部错误事件相加。无论实际真假组合是什么，全部错误都要经过“所有真零共同组成的那个交集”。局部检验可以互相依赖，也可以共享全部数据；关键是每一个都在自己的零模型下真正有效。

三个 p 值逐节点计算 ​

对每个交集使用 Bonferroni 局部p 值理路p 值p-value在零假设下校准的证据统计量，其小值事件的概率不超过对应阈值。

在 $H_I$ 下所有成员 p 值均有效，已有 FWER 页的并集界证明它有效，不要求独立。对 $p=(0.01,0.04,0.20)$、$\alpha =0.05$，完整记录如下：

第二项被 $p_{\{2,3\}}=0.08$ 阻挡，第一项则通过四个相关节点。若局部检验都由 p 值编码，闭合调整值为

本例单项调整值为 $(0.03,0.08,0.20)$。先给定水平再比较调整值，与逐个节点检查完全一致。

用 Bonferroni 作局部检验时，这个闭合程序恰可由已有的Holm 步降算法理路多重检验与族错误率Multiple testing · Familywise error rate · FWER同时检验多个假设时至少一次错误拒绝的概率及其 Bonferroni、Holm 控制。实现，不必枚举全部子集。那是利用了特定局部检验结构的捷径；换成别的局部检验后，不能仍照搬 Holm 阈值。

一个只检查全局零假设的失败方案 ​

有人先检验 $H_{[m]}$，通过后就对每项单独用水平 $\alpha$。当全局零假设真时，它有弱控制；部分假设为假时，全局检验可能几乎总拒绝，留下的多个真零便失去联合保护。

取三项，第一项实际有极强信号，使全局检验总能通过；第二、第三项为真零，且其 p 值独立均匀。后两项至少一个小于 $0.05$ 的概率为 $1-{0.95}^2=0.0975$。只放一个全局“门卫”，缺少的正是 $H_{\{2,3\}}$ 这一道检查。

闭合也不能修复无效局部检验。如果一个交集使用了需要独立的合并检验，而成员实际任意依赖，统一的 $\alpha$ 标签就没有成立依据。

从指数定义得到可执行算法 ​

一般闭合族有 $2^m-1$ 个节点，局部检验的计算成本首先就可能指数增长。已有全部局部布尔值时，不必为每个 $I$ 再枚举所有上集。令 $c([m])={\varphi }_{[m]}$，按集合大小从大到小计算

归纳说明每个更大上集都沿某条单元素添加路径被检查，故 $c(I)={\varphi }_I^{\mathrm{c}\mathrm{l}}$。这一步需要 $O(m{2}^m)$ 次布尔运算和 $O(2^m)$ 存储，另加所有局部检验的成本。调整 p 值版本把逻辑与换成最大值即可。

当 $m$ 很大时，需要利用局部检验的对称性、逻辑约束或专门捷径；不能把写得紧凑的子集公式称为多项式算法。输出应保存所用局部检验规则和阻挡节点，使未拒绝也有可检查原因。

交集结论还可以用来数发现 ​

一个交集被拒绝，只保证其中至少一个零假设为假，未必识别是哪一个。因此可能出现“所有单项都无法确认，但至少有若干项是真的信号”。同时 FDP 上界理路闭合检验的同时 FDP 上界Simultaneous FDP bounds · True discovery guarantee · Post hoc FDP bound保留闭合检验尚未排除的子集，以其最大大小约束任意事后报告集的错误发现数，并用同一个高概率事件证明全体集合同时有效。保留这些交集信息，在看完数据后选出报告集合，仍能给错误发现数量的共同上界。

自测。 在本例中只将第三项从 $0.20$ 改成 $0.01$。所有二元交集的 Bonferroni p 值都不超过 $0.02$，三元交集为 $0.03$；第二项自身为 $0.04$，于是三个单项均通过闭合。改变一项数据会解除另一项的阻挡，但强控制证明仍按真实 $I_0$ 统一成立。