“这个界的每个条件都有用。去掉剩余临界区上界，b可能无限；让L等待I/O，单靠CPU继承不能推动设备；加入锁链，必须算链中的额外服务；允许更高优先级线程，则还要计它们的干扰。响应分析中的B应由…”
形式陈述
一个任务的优先级不随每次deadline变化
沿用偶发任务的C/D/T合同理路偶发任务与作业截止期Sporadic task model · Constrained deadline task · 实时作业模型用最坏执行需求、相对截止期和最小释放间隔描述一族允许的作业流，区分单次轨迹、全到达保证与过期处理。，给每个任务分配固定、互异的优先级。每次运行最高优先级的就绪作业；同一任务的作业按释放先后处理。hp(i)表示优先级高于i的任务集合。
主定理仍要求单核、任意点可抢占、无锁阻塞、无自挂起、无抖动和零调度开销，且Dᵢ≤Tᵢ。这里的Rᵢ是释放到全部完成的最坏响应，不是第一次派发的等待。按从高到低的顺序验收任务；若一个高优先级任务已经失败，先报告这份失败，不把随后低优先级计算当成全系统保证。
在这些条件下，任务i的最坏响应出现在临界瞬间：它与所有高优先级任务同时释放，随后高优先级任务每隔其最小T再次释放，服务都取C。相应最小正不动点满足
若这个解不超过Dᵢ，则i在所有允许的到达中按时；若在达到不动点之前就超出Dᵢ，临界瞬间执行提供本优先级次序的失败见证。[1, §3.1，式(1)(2)]
用明确出口求最小不动点
从w₀=Cᵢ开始，反复计算
若w₀>Dᵢ立即失败；否则每轮先检查新值是否超过Dᵢ，再检查是否等于旧值。相等且不超期就返回Rᵢ=wₖ；增长则继续。对于正整数参数，每次未停止的严格增长至少1，至多Dᵢ−Cᵢ+1次增长/检查便触达固定点或超过期限。无需等待一个可能在很远未来才收敛的无界迭代。
直觉
窗口变长，会允许更多次高优先级到达
假设i从0等到w。在半开区间[0,w)中，高优先级任务j可在0、Tⱼ、2Tⱼ……释放，共⌈w/Tⱼ⌉份。它们都排在i之前，每份最多Cⱼ。i自己的C加这些干扰，就是完成所需窗口的新估计。
若w恰好是Tⱼ的整数倍，时刻w到达的新作业不进入[0,w)。i若已经完成，先结算完成再接纳它；若误用⌊w/Tⱼ⌋+1，会把边界上的下一份多算进去。只在恰好边界处，差1也可能改变验收结论。
迭代为何不会跳过正确答案
右边函数F(w)单调不减，w₁≥w₀，因此整个序列不减。任何不动点R必须≥Cᵢ；若wₖ≤R，单调性给wₖ₊₁=F(wₖ)≤F(R)=R。所以所有迭代值都不超过任何可行不动点，第一次停下得到的就是最小者，不是任意找到了一个方程根。
在临界瞬间，从i开始到它完成，处理器不会空闲，也不会服务比i更低的工作。它只消耗i本身与窗口内释放的高优先级服务，故完成时恰满足这个方程。迭代把“加进这些干扰之后又来了几份”的连锁效应逐轮算完。
临界瞬间结论是调度定理的一部分，不是由单调性单独推出。其核心是把高优先级请求向被分析作业的释放点靠拢：这不会给低优先级作业增加提前获得的服务，再把后继请求按最小间隔排放，得到最大的干扰形态。固定偏移、抖动、自挂起或其它依赖会改变可允许的平移，必须重新检查定理条件；原论文与后续分析分别明确这些范围。[2, §4，Theorem 1；1, §§2–3]
例子与边界
同一组三任务的失败证书
给A=(1,3,4)、B=(2,5,5)、C=(2,7,10)分配A>B>C。先验A：没有更高任务，R_A=1。再验B：2→3→3，所以R_B=3≤5。
对C，逐轮结果为：
| 旧w | A份数⌈w/4⌉ | B份数⌈w/5⌉ | 新w=2+份数A+2×份数B |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 | 5 |
| 5 | 2 | 1 | 6 |
| 6 | 2 | 2 | 8 |
新值8已经超过D_C=7，立即返回失败。同步轨迹中，C₀只在[3,4)得到1单位服务，随后A₁在[4,5)运行，B₁在[5,7)运行；到7，C₀还剩1，直到[7,8)才做完。
把C的D从7放宽到9，其它参数和优先级不变，迭代可以再算8→8，得R_C=8≤9。失败原因是既定执行量、到达频率和期限共同形成的，不是某个程序“看起来太慢”。
EDF可行，不保证任意固定次序也可行
主例的EDF需求表理路最早截止期优先与处理器需求Earliest deadline first · EDF scheduling · Processor demand criterion按最早绝对截止点抢占执行，以区间需求证明单核可行性，并把整数约束截止期化为有限超周期证书。全部通过；它会在5继续运行deadline7的C₀，而非刚到的B₁。固定A>B>C失败，并没有证明任务集本身不可行。
即使期限等于周期也会分开。取A=(2,5,5)、B=(4,7,7)，U=34/35≤1，EDF可行。按较短周期优先，B的迭代4→6→8超过7。这不与速率单调（RM）的固定优先级最优性矛盾：经典RM只在其隐含截止期独立模型中与其它固定次序相比，不承诺包含所有EDF可行集。[2, §4，Theorem 2]
D≠T时，可以按较短相对截止期优先（DM），但选择一个排序规则仍不能代替具体响应验算。本页实现接受显式给定的任务次序，不把RM、DM的名称当成成功标志。
D>T时，一份作业可能压住下一份
若相对期限长于最小间隔，同一任务的后续作业可以在上一份未完成时进入队列。只计算第一次释放的响应，可能漏掉忙窗内后续作业更坏的响应。需要分析多次作业及自干扰，不能继续把右边自己的需求固定成一个Cᵢ。[1, §3.2]
下载器明确拒绝D>T用于本页核心分析，并返回模型不支持；这与在支持模型内发现超期不同。拒绝一个输入模型，不是证明该系统不可调度。
推论与应用
阻塞项必须附带来源
有锁时常见扩展为wₖ₊₁=Cᵢ+Bᵢ+Σ⌈wₖ/Tⱼ⌉Cⱼ，但Bᵢ必须是已证明适用于该任务每次响应的低优先级CPU阻塞总量上界，而且要与所用协议、优先级和高优先级干扰口径相容。不能把任意一次观察到的锁等待墙钟时长塞进去；该时长可能已经包括右边将再次计数的高优先级执行。
例如只有一个低优先级持锁者，其剩余临界区服务至多3；被分析任务是系统最高优先级，所需自身服务为1，没有其它锁、嵌套或自挂起。基本继承理路基本优先级继承协议Priority inheritance protocol · Basic priority inheritance · 优先级反转与继承沿当前锁等待图传播有效优先级，逐事件重算继承与撤销，说明消除中间优先级插队的机制及死锁、链式阻塞边界。使中优先级工作不能插入这3单位服务，因此B=3给R≤4。这个来源清楚的特殊界，不是任意多锁PIP都只阻塞一次最长临界区的证明。
本页核心验收器只实现B=0精确分析。终点把上面的单锁扩展作为单独有证明的算例，不用一个未验证的B参数制造全系统成功结果。
迭代成本取决于数值期限
任务i若做Kᵢ轮，每轮扫描hp(i)，需O(Kᵢ(1+|hp(i)|))整数算术操作。全部任务从高到低验收再求和；只保存各轮w需O(n+ΣKᵢ)个整数；下载器还记录每轮各高优先级任务的份数，完整日志实际需O(n+ΣKᵢ(1+|hp(i)|))个整数。若只求结论，可逐任务丢弃旧值与份数。
整数停止界受D的数值控制，不是其二进制位数，所以这是伪多项式分析。大整数除法/上取整的位成本仍需另计。下载器采用整数式(w+T−1)//T，避免浮点在临界整数倍附近少算或多算一次释放。
截止期证书终点要求把迭代表和真实同步执行一起交付：前者给所有允许到达的判据，后者使第一次超期的位置能够直接核对。
参考资料
- Robert I. Davis、Alan Burns，Response Time Upper Bounds for Fixed Priority Real-Time Systems，2008，作者稿§2（PDF pp.2–3）、§3.1式(1)(2)（PDF p.4）；§3.2区分任意截止期。本文采用其标准RTA回顾中的无抖动、B=0情形，不实现后文新闭式上界。
- Liu、Layland，Scheduling Algorithms for Multiprogramming in a Hard-Real-Time Environment，1973，§4，pp.49–51，Theorems 1–2：临界瞬间及RM相对于固定优先级次序的最优性；主例与整数迭代日志为本文自定。