形式陈述

在偏序集 $(P,\le)$$(P,\le )$ 中，若 $u$$u$ 是 $A\subseteq P$$A\subseteq P$ 的上界，且对每个上界 $v$$v$ 都有 $u\le v$$u\le v$，则 $u$$u$ 是 $A$$A$ 的上确界，记为 $\sup A$$supA$；下确界 $\inf A$$infA$ 对偶定义。它们若存在必唯一。在实数中，完备性保证每个非空且有上界的集合存在实数上确界，每个非空且有下界的集合存在实数下确界。最大元若存在便等于上确界，但上确界未必属于集合。

直觉

上确界是“所有上界中最紧的一个”，它不要求集合真正达到该值。下确界则从下方给出最紧边界。

例子与边界

$A=(0,1)$$A=(0,1)$ 满足 $\sup A=1$$supA=1$、$\inf A=0$$infA=0$，但没有最大元或最小元；$\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 中集合 $\{q:q^2<2\}$$\{q:q^2<2\}$ 没有有理上确界，展示有序域不完备。空集的上确界在普通 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中通常不定义，在扩展实数约定下可令 $\sup\varnothing=-\infty$$sup\varnothing =-\mathrm{\infty }$。在一般偏序集中，上确界可能不存在，或虽有多个极小上界却无最小上界；“极大元”也不能替代“最大元”。

推论与应用

上确界构造单调序列极限、完备格、外测度和优化中的最优值；$\limsup$$lim sup$、本质上确界与算子范数都是这一思想的推广。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，§1.3, the Axiom of Completeness and least upper bounds。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 1, ordered sets and the least-upper-bound property。