Carlitz q-Eulerian 联合多项式

知道主指标与逆序各自的分布，仍不知道它们如何与下降数关联。要保留两个统计，插入最大元时不能只数“有几个合法缝”，还必须记录每条缝使主指标增加多少。

设旧词 $u$ 长 $m=n-1$，有 $d$ 个下降。插入最大元 $n$：

• 末尾不变，主指标增量为零
• 在下降位置 $i$ 的缝中插入，旧下降 $i$ 变成下降 $i+1$，其右侧每个下降也右移一步，故增量为 $1+|\{j\in \mathrm{Des}(u):j>i\}|$
• 在最前插入，新增位置一的下降，旧 $d$ 个下降右移，故增量为 $d+1$
• 在上升位置 $i$ 插入，新增下降在 $i+1$，右侧下降右移，故增量为 $i+1+|\{j\in \mathrm{Des}(u):j>i\}|$

前两类不改下降数。把下降缝从右到左读，增量正好是 $1,\dots ,d$，连同末尾零，权重和为 $[d+1{]}_q$。后两类增加一个下降；最前增量为 $d+1$，上升缝从左到右依次再多一，直到 $m$，权重和为 $q^{d+1}[m-d{]}_q$。删掉唯一最大元恢复旧词与缝，因此这些权重没有重复。令目标下降数为 $k$，便得两个递推项。

用旧词 $u=3142$，下降在位置一、三，$d=2$，主指标四。五条插入缝给

所以这一个旧词贡献 $t^2{q}^4(1+q+q^2)+t^3{q}^4(q^3+q^4)$。增量取决于缝的下降类型和右侧下降数，不能只用新元右边有几个字母，那是逆序插入的规则。

三阶与四阶结果为

四阶恰有一个下降时，下降在位置一、二、三的数量分别为三、五、三，故主指标恰为一、二、三，独立给出 $t$ 的系数。代 $q=1$ 恢复 $1+11t+11t^2+t^3$；代 $t=1$ 得 $[4{]}_q!$，两种核验保留的信息不同。

联合分布不能用逆序直接替换：三元素恰有一次下降的词为 $132,213,231,312$，其主指标分布为 $2q+2q^2$，逆序分布也碰巧相同；但四阶的一次下降逆序分布为 $3q+4q^2+3q^3+q^4$，已经不同。单看三阶相等不足以支持一般主张。

重复字母时，“删去唯一最大元”和“每对相邻值非升即降”都可能失效。$112$ 的重排仅有 $112,121,211$，联合多项式为 $1+t(q+q^2)$；它不是 $A_3(t,q)$ 除以二。空排列单独给初值，不将非空词的内部缝分类硬套到长度零。

加权稳定排序证明生成函数 ​

先固定 $m\ge 0$，给每个标签 $i\in [n]$ 指定 $f(i)\in \{0,\dots ,m\}$，用 $q^{\sum _{i}f(i)}$ 加权。独立选值的总权重为 $[m+1{]}_q^n$。

把标签按函数值 递减 排列，相等时按标签递增，得到唯一 $w$。沿它的值序列满足

这与Worpitzky 页理路Worpitzky 恒等式与幂的下降展开Worpitzky identity · Eulerian power identity用稳定排序把任意函数唯一分到下降模式，证明Worpitzky展开并推导幂和有理生成函数、Eulerian显式式与EGF。的值递增版本有方向区别；这里选递减，才能让总值的强制增量恰为主指标。

置 $a_{n+1}=0$、${\epsilon }_i={\mathbf{1}}_{\{i\in \mathrm{Des}(w)\}}$，令

每个 $b\in {\mathbb{N}}^n$ 唯一恢复 $a_i=\sum _{j=i}^n(b_j+{\epsilon }_j)$。因此

给定 $b$ 后，再对所有允许上限 $m\ge a_1$ 求和，产生 $t^{a_1}/(1-t)$。分别求各个 $b_i$ 的几何级数，得到

最后对所有 $w$ 求和便得主公式。固定 $t^m$ 时，全部 $b_i$ 的和不超过 $m$，所以所有换序都只汇总有限项，不隐藏解析收敛条件。

一个具体系数检查 ​

$n=3,m=1$ 时，左边为 $(1+q{)}^3=1+3q+3q^2+q^3$。右边取 $t^1$：分母倒数的一次系数为 $1+q+q^2+q^3$，加上分子的 $t$ 系数 $2q+2q^2$，正好相同。若误用上升排序却仍保留 $\mathrm{maj}$ 而不改为反向位置权重，这一步容易出错。

代 $q=1$ 后，主公式变为 $\sum _{m\ge 0}(m+1{)}^n{t}^m=A_n(t)/(1-t{)}^{n+1}$，与旧 Worpitzky 的下标平移一致。对数值 $t,q$ 求和则还需另查收敛；本页不从形式恒等式推出任意点的无穷求值。