初等链与ω饱和扩张

为什么必须继续处理新参数 ​

紧致性可以一次为 $M$ 中的所有有限参数类型补上见证。但新扩张增加了元素，这些新元素又可以成为参数，产生原来那一步没有负责的类型。因此构造反复执行“实现上一阶段参数所提出的要求”，最后取并。

有限参数集终究会一起出现在某一阶段。它提出的要求在下一阶段已经得到处理，这才是 $\omega$ 次迭代足够的原因。不能仅说“每步模型越来越丰富”，也不能把可数无穷参数集误认为必然在某一有限阶段集中出现。

初等链定理的公式归纳证明 ​

同时对全部 $n$ 和 $M_n$ 中的参数元组证明

原子公式由并结构定义保持；否定与合取直接用归纳假设，其他布尔联结词可由它们定义。关键是存在量词 $\phi (\overline{a})=\mathrm{\exists }x\psi (x,\overline{a})$。

若 $M_n$ 满足该存在式，取见证 $b\in M_n$。对子公式 $\psi$ 用归纳假设，得 $N\models \psi (b,\overline{a})$，故 $N$ 满足存在式。

反过来，若 $N$ 满足存在式，取见证 $b\in N$。选择 $m\ge n$ 使 $b\in M_m$，于是 $\overline{a},b$ 都在 $M_m$。归纳假设给出 $M_m\models \psi (b,\overline{a})$，故 $M_m\models \mathrm{\exists }x\psi (x,\overline{a})$。再用链中已知的 $M_n\preccurlyeq M_m$，把这个带 $M_n$ 参数的存在式传回 $M_n$。

全称量词由否定与存在量词处理，归纳结束。反向步骤没有要求同一个新见证 $b$ 回到 $M_n$；初等性只保证 $M_n$ 自己存在某个见证。

一步同时实现旧参数的全部类型 ​

对每个有限 $A\subseteq M$、每个正整数 $k$、每个完全 $k$-类型 $p(\overline{x})$，引入一组专属新常元 ${\overline{c}}_{A,k,p}$。所有这些索引构成集合，因为公式、参数有限子集和它们的幂集都是集合。令 $E(M)$ 是命名所有 $M$ 中元素的初等图表，考虑

任取 ${\mathrm{\Sigma }}_M$ 的有限片段。它只涉及有限多组新常元；对每组，把属于该类型的有限要求合成一个有限公式。有限可满足性保证在 $M$ 中有一组见证满足它。不同组可独立选见证，图表本身全部在 $M$ 中成立，于是获得这个有限片段的模型。

这里没有额外要求不同类型使用的常元解释成互不相同的元素。若两个要求能够由同一元素实现，允许它们重合；擅自加入所有新常元两两不等，会破坏上述有限可满足性证明。

由紧致性公理库一阶逻辑紧致性定理First-order compactness theorem · Compactness theorem一阶理论可满足，当且仅当它的每个有限子理论都可满足。，${\mathrm{\Sigma }}_M$ 有模型。把每个 $a$ 映到常元 $c_a$ 在所得模型中的解释，初等图表保证这个映射是 $M$ 到其 $L$-约化的初等嵌入；等号与不等式保证单射。把像中的元素重命名，得到真正的初等包含 $M\preccurlyeq M^{+}$。每个专属常元元组在 $M^{+}$ 中实现其类型。这个步骤保留全部带旧参数的一阶真值，而不只保留无参数理论。

ω次迭代的并为什么已经饱和 ​

令 $M_0=M$，依次令 $M_{n+1}$ 为刚构造的 $M_n^{+}$，再取 $N=\bigcup _n{M}_n$。初等链定理给出每个 $M_n\preccurlyeq N$。

任取有限 $A\subseteq N$ 及其上的完全有限元组类型 $p$。有限多个参数各自出现在某阶段，取这些阶段的最大值，便有 $A\subseteq M_n$。因为 $M_n\preccurlyeq N$，两者带 $A$ 名字的理论相同。

更具体地，对任意有限 $p_0\subseteq p$，$N\models \mathrm{\exists }\overline{x}\bigwedge p_0$；这是一个只带 $A$ 参数的一阶公式，故 $M_n$ 也满足它。因此 $p$ 是相对于 $M_n$ 的同一个类型，已经在构造 $M_{n+1}$ 时列入要求。它在 $M_{n+1}$ 的见证，由 $M_{n+1}\preccurlyeq N$ 在 $N$ 中仍满足全部公式。这证明 $N$ 是 $\omega$-饱和的。

每一步直接处理所有有限元组长度，所以此证明无需额外援引“一变量饱和推出有限元组饱和”的归约。构造使用通常的紧致性和选择模型步骤，不需要连续统假设。[1, §4]

可数语言仍可能有连续统多个空参数要求 ​

取仅含可数多个一元谓词的语言

令 $M$ 的论域为 $\mathbb{N}$ 的全部有限子集，解释 $P_i(S)$ 为 $i\in S$。有限子集可按其二进制特征编码为自然数，因此 $M$ 可数。

对每条无限位串 $\eta \in \{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$，定义空参数部分类型

一个有限片段只检查有限多个下标。取其中所有正要求下标组成的有限集合 $S$，便同时满足正要求和负要求。例如要求 $P_0(x),\mathrm{\neg }{P}_1(x),P_4(x)$ 时，$S=\{0,4\}$ 就是见证。若一条位串有无穷多个一，整个 $q_{\eta }$ 在 $M$ 中没有见证，因为每个元素只是有限集合；但任意有限片段都有见证。

每个 $q_{\eta }$ 都能补成相对于 $M$ 的完全一类型。若 $N\equiv M$ 且 $N$ 是 $\omega$-饱和的，空参数集当然有限，所以每个这样的完全类型、从而每个 $q_{\eta }$ 都被实现。不同位串在某个下标 $i$ 处相反，一个元素不可能同时满足 $P_i$ 与 $\mathrm{\neg }{P}_i$，故它们必须使用不同见证。因此

可数语言和可数起点不能保证可数的 $\omega$-饱和扩张。原因是可数的公式集合仍可有不可数多个相容的完整真值选择；不能把“公式可枚举”偷换成“类型可枚举”。这是一元谓词版本的独立例子，不需要把无限位串当作语言中的单个无穷公式。

与有理数纯序的对照 ​

纯序 $(\mathbb{Q},<)$ 已在有限参数类型分类公理库模型论中的参数类型Model-theoretic type · Partial type · Complete type · 参数类型用带参数的一阶公式描述一个可能的元素，借初等图表实现类型，并以有理数上的无理割区分有限可满足、实现与省略。中证明是 $\omega$-饱和的：有限参数只划分有限多个点、开区间和射线，全部可找有理数实现。因此这里的扩张定理允许一个结构原本就拥有所需见证，并不说每一步都必须严格增大。

另一方面，有理数上的 $\sqrt{2}$ 割使用整个可数参数集 $\mathbb{Q}$，它在 $(\mathbb{Q},<)$ 中被省略。这个例子否定的是 ${\mathrm{\aleph }}_1$-饱和，不是 $\omega$-饱和。当前链构造只保证有限参数要求集中于某一阶段；可数参数可能散布在所有阶段，原证明不能直接给出更强结论。

已得结论与没有承诺的性质 ​

该构造可把任意结构放入拥有全部有限参数类型见证的初等环境。因为嵌入初等，以原结构元素为参数的一阶公式不会改变真值；增加的是无限条件清单的共同见证。模型的同质性、更高基数饱和及给定基数下的唯一性还需要各自的论证，不能仅凭本页的存在构造得出。

自测。 在存在量词反向步骤中，指出把新见证放进更大阶段与把存在式传回原阶段分别用了什么；在饱和性证明中，指出有限参数集为什么能集中于某阶段；最后用两个在第 $4$ 位相反的位串说明它们为何不能共享实现元素。三个检查分别对应链定理、迭代终点和不可数基数障碍。