多重校准

群组可以是不同地区、不同设备版本，或者它们的交集。整体预报正确不代表每个部署环境的报告都可靠。反过来，把每个环境单独修一次也不够：一个样本属于多个群组，修正其中一组会改变另一组的平均值。

所以算法必须反复审计当前预测器，而不是在开始时把各组统计一次就结束。好消息是，如果每次都针对一个确实存在的总体偏差作恰当修正，就能用同一个全局平方势衡量所有修正的进展。

总体已经校准，子群仍然失准 ​

令四类对象等概率出现，真实风险为

初始全部报告 $f=(0.5,0.5,0.5,0.5)$。总体正例率为 $0.5$，故这个常数报告在总体上精确校准。取两个重叠群组

并用区间 $[0,0.5)$、$[0.5,1]$。初始两群都全部落在上箱，但真实平均风险分别为 $0.7$ 和 $0.3$，偏差方向正好相反。

先修 $C_1$ 的上箱，残差为 ${\delta }_1=0.7-0.5=0.2$，得到

此时 $C_2$ 两点仍在上箱，其平均报告为 $0.6$、真实风险为 $0.3$，故加上 ${\delta }_2=-0.3$，得到

第二步改动了交集对象 2。现在 $C_1$ 的两点已经分到不同箱，必须按新的单元再次审计；不能拿第一轮的组平均正确作为停止证书。

总体精确查询下的有限步算法 ​

先假设能得到每个当前单元的精确质量和总体平均残差。这是分析理想接口，不是把有限样本均值冒充总体。

如果某个质量 $\mu \ge \gamma$ 的单元 $B$ 违反式 (1)，令

并作更新

随后重新找违反单元。对有限 $\mathcal{C}$ 和有限分箱，可以逐一检查；群组族很大时，如何高效找到违反单元本身就是一个审计问题。有限更新次数不自动等于每次搜索都高效。

取势函数

在裁剪前，只在 $B$ 上加 $\delta$，平方展开给出

因为 $\eta (x)\in [0,1]$，把任意实数投影回 $[0,1]$ 只会减小它到 $\eta (x)$ 的距离。因此裁剪后仍有

势最多从 $1$ 降到 $0$，所以不可能发生多于 $1/(\gamma {\alpha }^2)$ 次违反修正。停止时，每个质量足够的当前单元都满足式 (1)。这个结论的量词允许单元随 $f$ 改变，因为每一步都用同一个 $\mathrm{\Phi }$ 记账。

在刚才四点例中，势依次为

两次下降分别为 $(1/2)(0.2{)}^2=0.02$ 和 $(1/2)(0.3{)}^2=0.045$。某个旧单元重新失准，并未破坏全局下降。

从总体接口到有限数据还差什么 ​

有标签样本只能估计 $\mathbb{E}[{\mathbf{1}}_B(Y-f(X))]$ 和 $\text{Pr}(B)$。两者的比值才是条件残差，质量下限 $\gamma$ 防止很小的分母放大估计误差。统计查询接口公理库统计查询模型statistical query model · SQ model让学习器查询有界统计量的近似期望，并以查询数、容差和计算量衡量效率。适合把所需容差单独列出，但必须把绝对误差换算到条件平均误差。

具体地，记 $a=\mathbb{E}[{\mathbf{1}}_B(Y-f)]$、$\mu =\text{Pr}(B)\ge \gamma$。若两次有界统计查询各有绝对误差至多 $\tau \le \gamma /2$，则估计分母 $\hat{\mu }\ge \gamma /2$，且由 $|a|\le \mu$ 可得

因此取 $0<\tau \le min\{\gamma /2,\alpha \gamma /8\}$ 可把条件残差误差控制到 $\alpha /2$；判断单元质量是否达到 $\gamma$ 时也应给估计误差留出间隙。这只是查询精度的转换，完整的近似更新算法还须重新证明其停止和势下降条件。

更重要的是，当前分数桶取决于前面用数据做过的更新。它们不是训练前固定的一组查询。反复复用同一批数据涉及自适应数据分析公理库自适应数据分析Adaptive data analysis · Adaptive statistical queries描述同一数据上的自适应查询，并以完整反馈记录的有限比特预算证明最终查询的泛化保证。；简单实现可以为各轮使用新的独立样本，精细实现则需要专门的泛化论证。上面的势下降只证明总体算法，不提供一个未经证明的样本复杂度。

群组族应由实际需要和可识别性决定。要求所有可测子群都满足极小容差，可能接近要求逐点学准 $\eta$，与有限样本和计算预算冲突。即使只检查较大群组，也应说明是否包含其交集：分别校准设备与地区，不自动校准“某地区中的某设备”。

多重校准与群体公平准则公理库分类中的群体公平准则Demographic parity · Equalized odds · Equality of opportunity用不同条件独立关系区分选择比例平衡、等化错误率、机会均等与概率校准，并在同一混淆表中计算它们的差异。也不是同义词。它约束每个报告档内的平均真实风险，未要求各组输出正类的比例相同，更未证明数据标签或使用方式本身公平。它提供的是一组可核查的概率可靠性要求。