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局部平均与 Fourier 核：单元验收题及解答 ​

任务与阅读分支 ​

一台仪器记录一个周期方波，却只能保留有限频率，或读取平滑后的边界数据。你要选择能控制误差的重建方式，并说明“图看起来平滑”到底保证了什么。

主线依次阅读近似恒等核公理库近似恒等核Approximate identity · Approximation to the identity总质量固定、绝对质量向原点集中且没有放大失控的卷积核族，使局部平均在有限 Lp 范数中恢复输入。、Dirichlet 核公理库Dirichlet 核Dirichlet kernel把 Fourier 对称部分和写成卷积的振荡核，其增长的绝对质量揭示硬频率截断的端点不稳定。、Fejér 求和公理库Fejér 求和定理Fejer theorem · Cesàro summation of Fourier series对 Fourier 部分和作 Cesàro 平均得到非负单位质量核，从而对每个连续周期函数一致收敛。与圆盘 Poisson 核公理库圆盘 Poisson 核Poisson kernel on the disk · Poisson integral formula on the disk用非负边界权重构造单位圆盘调和延拓的核，其频率权重按半径的幂次衰减。，再由弱 Lp公理库弱 Lp 空间Weak Lp space · Lorentz space Lp-infinity以超水平集的幂次衰减衡量函数大小的空间，可容纳临界尖峰或长尾，但其通常表达式只有拟范数性质。、最大不等式公理库Hardy–Littlewood 最大不等式Hardy-Littlewood maximal inequality所有空间半径的局部平均所形成的最大算子满足弱 L1 和强 Lp 控制，核心机制是从重叠球中抽取不交子族。走到Lebesgue 微分公理库Lebesgue 微分定理Lebesgue differentiation theorem局部可积函数在几乎每一点都由缩小球上的平均恢复，且该点附近的平均绝对振荡趋零。。Riesz–Thorin 是算子范数的复插值分支；Marcinkiewicz 与 Hilbert 变换是奇异积分分支。前两项任务检验主线的重建能力，后三项检验几乎处处恢复与端点控制；全部完成后才算掌握整个单元。

设 $f(x)=\mathrm{sign}(\sin x)$，在跳点取零，并采用 $dm=dx/(2\pi )$。另在实线上设 $g={\mathbf{1}}_{(0,1)}$。

1. 写出 $S_{3}f$、${\sigma }_{3}f$ 与 $P_r\ast f$，计算前两者在 $x=\pi /6$ 的值，以及第三者在 $r=3/5,x=\pi /6$ 的值。哪一种在这个点超出了输入范围？
2. 分别说明这三种近似在连续点、跳点、$L^2$ 与一致范数中的行为。不得把方波当成连续函数应用 Fejér 的一致收敛结论。
3. 给定 $h\in L^1(\mathbb{R})$ 与连续紧支撑近似 $h_m$，证明缩小区间平均几乎处处恢复 $h$。明确写出坏点集合的测度界，不只说“由稠密性可得”。
4. 对 $g$ 算出 $Hg$ 的完整超水平集长度，求其弱 $L^1$ 拟范数，并判断它属于哪些 $L^p$ 空间。
5. 由最大算子的弱 $(1,1)$ 与 $L^{\mathrm{\infty }}$ 界给出一个明确 $L^3$ 常数，再计算同一个 $g$ 的真实范数比。解释上界为什么无需等于这个比值。

解答一：三个算子读的是同一份数据 ​

方波只有奇数正弦系数，故

$$S_{3}f(x)=\frac{4}{\pi }(\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x).$$

本单元的 Fejér 平均包含 $S_0,S_1,S_2,S_3$，所以

$${\sigma }_{3}f(x)=\frac{3}{\pi }\sin x+\frac{1}{3\pi }\sin 3x.$$

在 $x=\pi /6$，$\sin x=1/2$、$\sin 3x=1$，得到

$$S_{3}f(\pi /6)=\frac{10}{3\pi }\approx 1.061033,{\sigma }_{3}f(\pi /6)=\frac{11}{6\pi }\approx 0.583568.$$

原函数在这个点等于一。普通部分和已超过一，而 Fejér 平均仍在 $[-1,1]$ 中。原因是核的符号，不能归因于观测数据改变了。

Poisson 平均为

$$(P_r\ast f)(x)=\frac{4}{\pi }\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r^{2j+1}\sin ((2j+1)x)}{2j+1}.$$

对 $|z|<1$，由几何级数积分，

$$\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2j+1}}{2j+1}=\frac{1}{2}\log \frac{1+z}{1-z}.$$

令 $z=r{e}^{ix}$ 并取虚部。由于 $r<1$，商的实部为正，支路可连续选取，得到

$$(P_r\ast f)(x)=\frac{2}{\pi }\arctan \frac{2r\sin x}{1-r^2}.$$

在 $r=3/5,x=\pi /6$，分式为 $15/16$，所以结果为

$$\frac{2}{\pi }\arctan \frac{15}{16}\approx 0.479471.$$

这同样没有越出输入范围，因为 Poisson 核非负且质量为一。较低的值表示较强的平滑，不表示额外数据证明了平台温度更低。

解答二：把四种收敛声明分开 ​

方波分段光滑，普通 Fourier 部分和在连续点趋向 $f(x)$，在跳点趋向左右极限的平均零；其 $L^2$ 误差也趋零，但跳点附近仍有 Gibbs 过冲。

Fejér 与 Poisson 的核都是偶的非负单位质量核。它们在连续点恢复函数，在有左右极限的跳点恢复两侧平均，也在 $L^2$ 中恢复方波。改变一个跳点的赋值不会改变任何系数或卷积。

三者都不能在整个圆周上一致趋向这条不连续方波。每一个近似都是连续函数，连续函数的一致极限必须连续。即使给跳点取平均值，左右邻域的跳跃仍存在。若把输入换成连续周期函数，Fejér 和 Poisson 则一致收敛；普通部分和仍需额外条件。

用核检查这项差别：$D_N$ 的有符号积分为一，但绝对质量按对数增长；$F_N$ 和 $P_r$ 的绝对质量恰为一且向零角度集中。因此它们能把输入的一致连续性转换成统一的误差界。

解答三：真正控制所有小尺度的误差 ​

令

$$Dh(x)=\underset{r\downarrow 0}{lim sup}\frac{1}{2r}{\int }_{x-r}^{x+r}|h(y)-h(x)|dy.$$

对任意连续紧支撑 $h_m$，三角不等式和连续性给

$$Dh(x)\le M(h-h_m)(x)+|h(x)-h_m(x)|.$$

一维三倍覆盖给最大弱界常数 $C_1=3$。因此对 $\eta >0$，

$$|\{Dh>2\eta \}|\le \frac{3+1}{\eta }\Vert h-h_m{\Vert }_1.$$

令 $m\to \mathrm{\infty }$，得到每个固定 $\eta$ 的坏点集合测度为零；再对正有理数 $\eta$ 取可数并，得到 $Dh=0$ 几乎处处。绝对振荡趋零当然推出有符号平均恢复。

这里的上确界控制了所有半径，避免把逐个半径的近似误差误写成同时误差。如果仅有 $L^1$ 收敛而没有最大不等式，上面这个步骤就缺了依据。

解答四：一个可精算的弱端点 ​

已知

$$Hg(x)=\frac{1}{\pi }\log \left|\frac{x}{x-1}\right|.$$

固定 $\lambda >0$，记 $a=e^{\pi \lambda }>1$。正超水平集分成两段：

$$\{Hg>\lambda \}=(\frac{a}{1+a},1)\cup (1,\frac{a}{a-1}).$$

它们的长度为 $1/(a+1)$ 与 $1/(a-1)$。变换满足 $Hg(1-x)=-Hg(x)$，故负超水平集长度相同。于是

$$|\{|Hg|>\lambda \}|=\frac{2}{a+1}+\frac{2}{a-1}=\frac{2}{\sinh \left(\pi \lambda \right)}.$$

因为 $\sinh u\ge u$，且 $\sinh u/u\to 1$，

$$\Vert Hg{\Vert }_{1,\mathrm{\infty }}=\underset{\lambda >0}{sup}\frac{2\lambda }{\sinh \left(\pi \lambda \right)}=\frac{2}{\pi }.$$

所以这个输出的弱 $L^1$ 控制可以精确计算。它在零和一附近只有对数奇点，对每个有限 $p$ 都局部 $p$ 次可积；远处却像 $1/(\pi x)$，因此全空间 $L^p$ 积分恰在 $p>1$ 时收敛。它不属于 $L^1$，也因端点无界而不属于 $L^{\mathrm{\infty }}$。由 $L^2$ 等距还可核验 $\Vert Hg{\Vert }_2^2=\Vert g{\Vert }_2^2=1$。

解答五：从两个端点取得一个可用保证 ​

Marcinkiewicz 的无穷端点证明给

$$\Vert Mh{\Vert }_p^p\le \frac{p{2}^p{C}_1}{p-1}\Vert h{\Vert }_p^p.$$

取 $p=3,C_1=3$，得到

$$\Vert Mh{\Vert }_3\le {36}^{1/3}\Vert h{\Vert }_3.$$

对当前 $g$，区间内 $Mg=1$，两侧各有 $1/(2x)$ 型尾，所以

$$\Vert Mg{\Vert }_3^3=1+2{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{8x^3}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}.$$

$\Vert g{\Vert }_3=1$，真实比值为 $(9/8{)}^{1/3}$。这个单一输入没有使覆盖和分割步骤同时达到最坏情形，所以远小于统一上界是正常的。要声称最佳算子常数，需要对全部输入求上确界，而不是只测试一个区间。

验收标准 ​

• 三个重建公式使用同一圆周归一化，Fejér 没有漏掉 $S_0$ 或错开一位
• 能指出一次实际过冲，并由核的非负性证明另外两种输出保持取值范围
• 把 $L^2$、连续点、跳点和一致收敛分别判定；不以图像平滑代替证明
• 写出坏点测度随 $\Vert h-h_m{\Vert }_1$ 趋零的界，说明最大算子在证明中的必要位置
• 从两个实区间解出 Hilbert 超水平集，得到 $2/\sinh \left(\pi \lambda \right)$，并解释弱与强端点的区别
• 能从已知端点推出可复核的 $L^3$ 常数，同时不把一个样本函数的范数比误称为最佳常数