Lebesgue 微分定理

连续点要求邻域中的每个值都接近中心值；Lebesgue 点只要求偏差的平均趋零。一些坏点可以留在每个邻域里，只要它们占的面积和偏差总量足够小，就不会破坏平均恢复。

因此这个定理没有把可积函数变成处处连续函数，而是在几乎处处选出一个能被积分识别的局部读数。改变一个零测集上的点值，不会改变任何邻域积分；被改动的那些点可能失去 Lebesgue 点资格，但“几乎处处”结论保持不变。

跳点读出平均，却不是 Lebesgue 点 ​

令 $f={\mathbf{1}}_{(0,\mathrm{\infty })}$。每个 $x\ne 0$ 都有一个小邻域使 $f$ 恒定，所以是 Lebesgue 点。在零处，对每个 $r>0$，

若给 $f(0)$ 赋任意实数 $a$，平均绝对振荡是

所以即使特意设 $f(0)=1/2$，使有符号平均恰好等于点值，它仍不是 Lebesgue 点。定理的绝对振荡结论强于单纯平均收敛。

处处不连续也可以几乎处处恢复 ​

取 $f={\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}$。它处处不连续，却几乎处处等于零；每个区间中的积分都是零。在无理数点 $f(x)=0$，平均绝对振荡等于零，所以全部无理数点都是 Lebesgue 点。在有理数点，振荡平均等于一，恢复失败。失败集合虽稠密，测度仍为零。

这个例子把拓扑大小和测度大小分开：稠密不等于面积大，处处不连续也不妨碍几乎处处平均恢复。

证明：把坏点的面积压到任意小 ​

先设 $f\in L^1({\mathbb{R}}^d)$。定义局部振荡上极限

选择连续紧支撑函数 $g$ 逼近 $f$。三角不等式给出

平均并令 $r\downarrow 0$，中间项因连续性消失。因此

对任意 $\eta >0$，最大弱不等式公理库Hardy–Littlewood 最大不等式Hardy-Littlewood maximal inequality所有空间半径的局部平均所形成的最大算子满足弱 L1 和强 Lp 控制，核心机制是从重叠球中抽取不交子族。与Markov 积分估计公理库Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。分别控制右边两项，得到

连续紧支撑函数在 $L^1$ 中稠密，可令右侧任意小。左侧集合只由固定的 $f,\eta$ 决定，因此其测度必为零。让 $\eta$ 遍历正有理数，得到 $Df=0$ 几乎处处。

对局部可积 $f$，固定 $R>0$，在 $B(0,2R)$ 外截为零。对 $x\in B(0,R)$，足够小的球完全落在未改变的区域内，因此刚证明的结论仍适用。最后让整数 $R\to \mathrm{\infty }$，可数并的零测集仍为零测集，完成全空间证明。

关键是最大不等式同时控制所有小半径。仅知道一串近似函数在 $L^1$ 中接近，不能直接把“近似误差小”换成“每个位置、每个尺度都小”。

积分的导数 ​

一维中令 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，其中 $f\in L^1(a,b)$。在 $f$ 的 Lebesgue 点 $x$，

所以 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 几乎处处。这是绝对连续函数公理库绝对连续函数Absolutely continuous function · Absolute continuity on an interval把有限组总长度很小的区间送到总振幅很小的函数类，并满足 Lebesgue 版微积分基本定理。与积分基本定理之间的重要连接；它没有要求 $f$ 在这些点连续。

集合的密度与可识别代表 ​

对可测集 $E$，将定理用于 ${\mathbf{1}}_E$，得到几乎每个 $x\in E$ 满足

而几乎每个 $x\notin E$ 的比例趋零。具有复杂边界的集合仍可以在几乎每点表现得像“内部”或“外部”。

定理通常不给统一收敛速度。细小尺度上的交替条纹可以让平均长期接近中间值，直到观察半径小于条纹宽度才分辨局部取值。要得到关于 $r$ 的明确误差率，必须增加连续模、Sobolev 正则性等定量条件。