Hardy–Littlewood 最大不等式

形式陈述

固定一个平均半径很容易控制。若每个位置都挑对自己最有利的半径，最大读数还会不会整体失控？

取正整数 $d$ 。对 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^d)$ ，定义中心 Hardy–Littlewood 最大函数

Mf(x)=\sup_{r>0}\frac1{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)}|f(y)|\,dy.

球内积分是Lebesgue 积分。对固定半径，平均随球心连续；因此上确界是可测的，也可把半径限制到正有理数而不改变结果。

存在只依赖维数的常数 $C_d$ ，使任意 $f\in L^1$ 和 $\lambda>0$ 都满足

|\{Mf>\lambda\}|\le\frac{C_d}{\lambda}\|f\|_1.

也就是 $\|Mf\|_{1,\infty}\le C_d\|f\|_1$ ，输出进入弱 $L^1$。此外，对 $1<p\le\infty$ ，

\|Mf\|_p\le C_{d,p}\|f\|_p.

$p=\infty$ 时可取常数一； $p=1$ 一般没有强范数界。本页始终使用以 $x$ 为球心的版本；允许任意包含 $x$ 的球会改变常数，但不改变上述指数范围。

直觉

$Mf(x)$ 问的是：从 $x$ 向外看，在哪个尺度能读到最大的平均强度？一个远离信号支撑的点仍可能使用大球读到信号，所以最大函数会产生长尾。

真正防止失控的不是每个球都小，而是“大平均的球必须消耗输入质量”。许多这样的球可能重叠，不能把它们的积分直接相加。覆盖引理先抽出互不重叠的一组，让每块输入质量最多记一次；将这些球稍稍放大，又能覆盖原来的所有候选球。

例子与边界

在实线上取 $f=\mathbf1_{[0,1]}$ 。若 $x>1$ ，半径 $r\le x-1$ 时平均为零； $x-1<r<x$ 时为

\frac{r-x+1}{2r};

它随 $r$ 增加。 $r\ge x$ 时整个单位区间已被包住，平均为 $1/(2r)$ ，随 $r$ 减少。因此最优半径是 $r=x$ ，得到

Mf(x)=\frac1{2x}\qquad(x>1).

同理， $x<0$ 时 $Mf(x)=1/[2(1-x)]$ ；在 $0<x<1$ 上，小球给 $Mf(x)=1$ 。于是

\int_{\mathbb R}Mf(x)dx=\infty, \qquad\|f\|_1=1.

长尾 $1/x$ 恰好越过可积性的临界线，却仍满足 $|\{Mf>\lambda\}|=O(1/\lambda)$ 。弱端点是这个例子真正允许的控制，而不是证明暂时不够精细。

Doob 最大不等式也控制一个上确界，但它沿时间和滤过取最大，并利用条件期望结构。这里沿空间半径取最大，证明依赖欧氏球的覆盖几何。名称相似，不意味着可以直接互相代入。

推论与应用

给定有限个球，先选半径最大的球，删除所有与它相交的球，再重复。被保留的球两两不交。每个被删除球的半径不大于删除它的那个球，又与之相交，所以完全落在后者的三倍同心球内。

因此，若保留的球为 $B_j$ ，全部原球的并被 $\bigcup_j3B_j$ 覆盖，且

\left|\bigcup\text{原球}\right| \le3^d\sum_j|B_j|.

这项几何结论不用函数，更不预先使用最大不等式。

令 $E_\lambda=\{Mf>\lambda\}$ ，先取其任意紧子集 $K$ 。对每个 $x\in K$ ，有一个球 $B_x$ 使

\int_{B_x}|f|>\lambda|B_x|.

这些开球覆盖 $K$ ，取有限子覆盖，再应用上一节。选出的不交球给

|K|\le3^d\sum_j|B_j| <\frac{3^d}{\lambda}\sum_j\int_{B_j}|f| \le\frac{3^d}{\lambda}\|f\|_1.

对紧子集取上确界，利用 Lebesgue 测度的内正则性，得到所需弱 $(1,1)$ 界，可取 $C_d=3^d$ 。这不是最优常数，但每一步都可检验。

$M$ 满足次线性： $M(f+g)\le Mf+Mg$ ，并且 $\|Mf\|_\infty\le\|f\|_\infty$ 。因此Marcinkiewicz 插值把弱 $(1,1)$ 与强 $(\infty,\infty)$ 两个端点连起来，给出所有 $1<p<\infty$ 的强界。

这里并没有用强 $L^p$ 界来证明弱端点，所以不存在循环。反过来，光知道每个固定半径平均都是 $L^1$ 收缩，也不能把上确界搬到积分外得到 $\|Mf\|_1\le\|f\|_1$ ；单位区间例子已经否定这种交换。

一个常用后果是：若 $\|f-g\|_1$ 很小，那么在绝大部分位置，所有半径的平均差同时很小，因为

\left|\left\{\sup_r\left|\frac1{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}(f(y)-g(y))\,dy\right|>\eta\right\}\right| \le\frac{C_d}{\eta}\|f-g\|_1.

Lebesgue 微分定理正是利用这种同时尺度控制，把连续函数的局部恢复推广到所有局部可积函数。

参考资料

Terence Tao，Lecture Notes 3 for 247A，§1，Proposition 1.1、Lemma 1.3，pp. 1–3：最大不等式与有限球覆盖。本文保留中心球版本，并直接算出单位区间的完整远场尾部。