弱 Lp 空间 | Codeboy's Blog

形式陈述

一个函数的 $p$ 次方不可积，是否就完全失去定量控制？弱 $L^p$ 保留另一种信息：函数高于任意阈值的区域不能太大。

在测度空间 $(X,\mu)$ 上，对可测函数 $f$ 定义超水平集大小

d_f(\lambda)=\mu\{x:|f(x)|>\lambda\},\qquad\lambda>0.

对 $0<p<\infty$ ，定义

\|f\|_{p,\infty} =\sup_{\lambda>0}\lambda\,d_f(\lambda)^{1/p}, \qquad L^{p,\infty}=\{f:\|f\|_{p,\infty}<\infty\}.

像 $L^p$ 一样，这里把几乎处处相等的函数视为同一元素；这使零拟范数恰好对应零元。这叫弱 $L^p$ 空间，也记作 $L^{p,\infty}$ 。等价地， $\|f\|_{p,\infty}\le A$ 当且仅当对全部 $\lambda>0$ ，

\mu\{|f|>\lambda\}\le(A/\lambda)^p.

它与通常的$L^p$ 空间不同。后者把所有高度层的贡献积分，前者只控制每一层允许的最坏“高度乘宽度”。这个表达式通常不满足常数一的三角不等式，因此称拟范数，而不能不加说明地称作范数。

若算子 $T$ 满足 $\|Tf\|_{q,\infty}\le C\|f\|_p$ ，称它为弱 $(p,q)$ 型。输入用的是强 $L^p$ 范数，输出用的是弱 $L^q$ 拟范数，两个位置不能交换。

直觉

把函数的绝对值看作地形， $d_f(\lambda)$ 是水位升到 $\lambda$ 后仍露出水面的面积。弱范数限制每个水位的露出面积，却允许很高的尖峰，只要峰的底部足够窄。

一个临界幂律尖峰恰好把每层预算用满。每一层单独都合格，但跨越无穷多个层累计起来，强 $L^p$ 积分仍可能发散。这也是最大算子和奇异积分在 $p=1$ 端点经常只能得到弱型控制的原因。

例子与边界

在 $(0,1)$ 上取 $f(x)=x^{-1/p}$ 。当 $0<\lambda<1$ 时， $d_f(\lambda)=1$ ；当 $\lambda\ge1$ 时，

\{f>\lambda\}=(0,\lambda^{-p}), \qquad d_f(\lambda)=\lambda^{-p}.

所以 $\|f\|_{p,\infty}=1$ 。另一方面，

\int_0^1|f(x)|^pdx=\int_0^1\frac{dx}{x}=\infty.

这不是因函数在一个点取了无穷值：函数在每个 $x>0$ 都有限，发散来自一整串越来越靠近零、越来越高的层。

仍在 $(0,1)$ ，令 $f(x)=1/x$ 、 $g(x)=1/(1-x)$ 。两者的弱 $L^1$ 拟范数都是一。然而

f(x)+g(x)=\frac1{x(1-x)}\ge4.

对每个 $\lambda<4$ ，其超水平集是整个区间。因此 $\|f+g\|_{1,\infty}\ge4>2$ ，普通三角不等式失败。

拟三角不等式仍成立。因为

\{|f+g|>\lambda\} \subseteq\{|f|>\lambda/2\}\cup\{|g|>\lambda/2\},

可以用两个超水平集界控制和。弱空间仍是线性空间，但范数几何需要额外小心。

推论与应用

\lambda^p\mu\{|f|>\lambda\} \le\int_{\{|f|>\lambda\}}|f|^p\,d\mu \le\|f\|_p^p.

取上确界得到 $\|f\|_{p,\infty}\le\|f\|_p$ 。临界尖峰证明反向包含一般不成立。

对每个非负数 $a$ ，有 $a^q=\int_0^a q\lambda^{q-1}d\lambda$ 。对 $q>0$ ，在 $\sigma$ -有限测度空间上用Tonelli 定理交换非负积分，得到

\int|f|^q\,d\mu =q\int_0^\infty\lambda^{q-1}d_f(\lambda)\,d\lambda.

若 $\mu(X)=m<\infty$ ， $\|f\|_{p,\infty}\le A$ ，则

d_f(\lambda)\le\min(m,A^p\lambda^{-p}).

若 $m=0$ 或 $A=0$ ，函数几乎处处为零，下面的范数界直接成立。以下取 $m,A>0$ 。当 $0<q<p$ 时，在两项相等的 $\lambda_0=Am^{-1/p}$ 处分开积分，得到

\|f\|_q^q \le\frac{p}{p-q}\,A^q m^{1-q/p}.

因此有限测度空间上弱 $L^p$ 蕴含每个较低指数的强 $L^q$ 。当 $q=p$ ，高端积分变成 $\int d\lambda/\lambda$ ，正好在临界处失败。若空间测度无穷，低水位区域也可能无穷大，不能删掉有限测度假设。

Hardy–Littlewood 最大算子把 $L^1$ 输入送到弱 $L^1$ 。这个输出控制足够证明几乎处处局部恢复，虽然未能保证输出整体可积。Marcinkiewicz 插值则将两个不同指数的弱型控制合在一起，取得中间指数的强型估计。

参考资料