Riesz–Thorin 插值定理

把一个算子画成指数平面中的点 $(1/p,1/q)$。已知两个端点，就控制了连线上的全部点。但这不表示“把两个不等式相加”即可：输入的 $p$ 范数也随位置变化，需要同步改变用于测试输入和输出的函数。

复插值把这种变化藏进一个全纯函数公理库全纯函数Holomorphic function · Complex analytic function在复平面开集的每一点都复可微的函数。。沿复数带的两条竖边，函数的绝对值刚好对应已知端点范数；带内的最大模控制便把端点信息带到所需的中间位置。虚部只改变复相位，不改变测试函数的大小。

一个二乘二算子，插值得到的常数正好最优 ​

在 ${\mathbb{C}}^2$ 上用计数测度，令

三角不等式给 $\Vert Tx{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert x{\Vert }_1$，且 $T^{\ast }T=2I$，所以 $\Vert Tx{\Vert }_2=\sqrt{2}\Vert x{\Vert }_2$。取 $\theta =1/2$，

从而

取 $x=(1,0)$，输出为 $(1,1)$，左侧恰为 $2^{1/4}$，右侧也相同。这既核验指数运算，又说明插值常数在这个具体例子中已经不能改小。

Fourier 变换的中间指数 ​

采用 $\hat{f}(\xi )=\int f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx$。Fourier 变换公理库Fourier 变换Fourier transform · 傅里叶变换把非周期函数分解为连续频率成分，并将卷积和平移不变算子转为频域乘法。满足 $L^1\to L^{\mathrm{\infty }}$ 范数界一，Plancherel 定理公理库Plancherel 定理Plancherel theoremFourier 变换从稠密子空间唯一延拓为 L² 上保持内积与范数的酉算子。给 $L^2\to L^2$ 范数界一。插值得到

这给出 Hausdorff–Young 不等式的一个有效常数；它不声明欧氏空间中每个中间指数的最佳常数都是一。离开这段端点连线，也没有由本定理自动得到 $p>2$ 的同样结论。

三线引理是复变量桥梁 ​

若 $H$ 在闭带 $0\le \mathrm{Re}z\le 1$ 连续、内部全纯且有界，两条边分别满足 $|H(it)|\le M_0$、$|H(1+it)|\le M_1$，则

其机制可用最大模原理看见。先除去解析因子 $M_0^{1-z}{M}_1^z$，把两边界界都变为一；再乘 $e^{\delta (z^2-1)}$。沿很高的水平边，这个因子按 $e^{-\delta (\mathrm{Im}z{)}^2}$ 衰减；沿竖边它的模不超过一。对有限矩形用最大模原理，让高度趋于无穷，再令 $\delta \downarrow 0$，便得到所需界。

怎样让范数随复参数变化 ​

先取有限测度支撑的简单函数 $f,g$，归一化为 $\Vert f{\Vert }_{p_{\theta }}=\Vert g{\Vert }_{q_{\theta }^{\prime }}=1$，其中 $q^{\prime }$ 是共轭指数。设 $p_{\theta }<\mathrm{\infty }$、$q_{\theta }^{\prime }<\mathrm{\infty }$；零值处统一设下面函数为零：

模只取决于 $\mathrm{Re}z$，所以在两条边 $\mathrm{Re}z=0,1$ 上分别有

无穷指数按零倒数处理，支持上的零次幂取一。定义双线性配对

线性性和简单函数表示使它成为有限个复指数的和，故在带内全纯且有界。端点假设配合Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。给两条边上的界 $M_0,M_1$。在 $z=\theta$ 时，$f_z=f$、$g_z=g$，三线引理得到

对全部归一化 $g$ 取上确界，就是输出的 $L^{q_{\theta }}$ 范数，再由齐次性去掉 $f$ 的归一化。若 $q_{\theta }^{\prime }=\mathrm{\infty }$，两端也有 $q_i^{\prime }=\mathrm{\infty }$，可直接令 $g_z=g$；若 $p_{\theta }=\mathrm{\infty }$，两端输入均为 $\mathrm{\infty }$，固定 $f_z=f$ 即可处理已定义的算子。

这个证明也标出条件的职责：线性性使 $H$ 保持全纯，强型端点界控制其竖边。若只有弱型界，或者算子仅次线性，不能照搬这条复解析证明；Marcinkiewicz 插值公理库Marcinkiewicz 插值定理Marcinkiewicz interpolation theorem · Weak-type interpolation把函数按输出阈值拆成高低振幅两部分，用不同弱型界分别控制，再对阈值积分得到中间指数的强界。采用按振幅分割的另一条路线。