沿等效、功效与总体含量路线，先确认要支持哪一种声明，再选择相应概率合同。下面四项任务分别改变联合报告、投影方向、未来值目标和设计预算，每项都给出可复算答案。

任务一：相关的两个指标，能否一起宣布合格 ​

十个独立对象各有两个二值读数$(A_i,B_i)$，对象之间IID，同一对象内允许相关。联合记录中，$(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)$分别出现3、2、2、3次。预设任务是同时证明

$$p_A\in (1/5,4/5),p_B\in (1/5,4/5).$$

采用每项5%的精确二项TOST。应检验几个零假设分量？相关性是否迫使各分量改用$5\mathrm{\%}/4$？若任务改为“两个指标任选一个通过就宣布成功”，还能用同一个规则吗？

完整答案 ​

两个边缘成功数都是5。IID对象保证每个边缘总数分别服从$\mathrm{Binomial}(10,p_A)$、$\mathrm{Binomial}(10,p_B)$；同一对象的相关性不改变这一边缘结论，也不允许把两个总数当独立。

整体零假设有四个并起来的坏方向：$p_A\le 1/5$、$p_A\ge 4/5$、$p_B\le 1/5$、$p_B\ge 4/5$。四份精确单侧p值本次都等于

$$\frac{320249}{9765625}\approx .0327935<.05.$$

交并规则理路交并检验原理Intersection–union test · Intersection union test · IUT · 交集拒绝与并集原假设当总体原假设是若干分量原假设的并集时，只有全部分量检验拒绝才作总体声明，同一水平无需再除以分量数。要求四项全部通过，整体p值取四者最大值。因此可在5%水平作预设的联合合格声明，无需将每个尾再除4。

还能给更强但仍明确是上界的结论。单个指标的二项TOST只有总数恰为5时通过，其区间外最大拒绝概率为

$$\frac{258048}{9765625}\approx .0264241.$$

任何联合零假设参数至少有一个指标在区间外，联合通过是该指标单独通过的子事件，所以整体错误概率也至多这个数。这里没有算出所有允许联合分布下的整体精确size；相关性仍会影响两个指标同时通过的实际概率。

“至少一个指标通过”则把外层报告改为并事件，原证明不再控制它。一般两个独立、零假设下均匀的有效p值，以$.05$门槛任选一项通过，错误率为$1-{.95}^2=.0975$。这说明仅有两个边缘有效性不足以支持新的规则；它不是声称上述十对象TOST的size就是$.0975$。若要控制新报告，须重新定义零假设并校准选择规则。

任务二：消去共同均值后，再找非中心参数 ​

设$Y\sim N_7(m,I)$，其中$m=(2,0,1,0,0,0,0)$。令前三个坐标的平均为${\overline{Y}}_{123}$，构造

$$Q=\sum _{j=1}^3(Y_j-{\overline{Y}}_{123}{)}^2,V=\sum _{j=4}^7{Y}_j^2,T=\frac{Q/2}{V/4}.$$

求$T$的分布与$P(T>3)$。如果前三个总体均值同时增加100，答案怎样改变？若把前三坐标共同均值方向的平方也加到分母，还能沿用原答案吗？

完整答案 ​

前三维的去均值投影是$P=I_3-\mathbf{1}{\mathbf{1}}^{\mathsf{T}}/3$，秩为2。其作用于总体均值$(2,0,1)$得到$(1,-1,0)$，故

$$\lambda =\Vert P(2,0,1{)}^{\mathsf{T}}{\Vert }^2=2.$$

也可显式取正交对比$u_1=(1,-1,0)/\sqrt{2}$、$u_2=(1,1,-2)/\sqrt{6}$。两个正态投影的均值为$\sqrt{2},0$，方差各为1且独立；它们的平方和是$Q$。后四维独立于前三维，且均值为零，所以$V$是独立中心${\chi }_4^2$。

因此$T\sim F_{2,4}(2)$。这项非中心参数既不是原均值总平方长度5，也不是三个坐标各自减掉某个假设值后的随意平方和。前三个均值同时增加100时，新增向量在$P$的核里，$\lambda$和分布完全不变。

由Poisson混合理路非中心χ²、t与F分布Noncentral distributions · Noncentral chi-square distribution · Noncentral t distribution · Noncentral F distribution · 非中心卡方分布 · 非中心t分布 · 非中心F分布先移动正态均值再平方或除以独立随机尺度，统一得到非中心χ²、t和F，并用Poisson混合与条件积分计算备择下的功效。，令$K\sim \mathrm{Poisson}(1)$。条件于$K=j$，统计量仍除以原分子自由度2，因此

$$T\mid K=j\stackrel{d}{=}(j+1)F_{2+2j,4}.$$

在阈值3上，Beta变换的自变量始终为$b=3/5$，条件CDF为$b^{j+1}\{j+2-(j+1)b\}$。累加权重$e^{-1}/j!$得到

$$P(T\le 3)=b(2-b^2)e^{b-1}=\frac{123}{125}{e}^{-2/5}.$$

所以$P(T>3)\approx .340405074701$。若均值满足三个坐标相同的零假设，非中心参数为0，同一阈值的上尾为$4/25=.16$。这份功效对应水平16%，不是5%。

公开程序另从$j=0$到24逐项计算正权重混合，并用首个遗漏权重除以$1-1/26$控制全部余项；尾质量小于${10}^{-24}$。闭式值位于这个独立混合包围内。

若将共同方向$W=(Y_1+Y_2+Y_3)/\sqrt{3}$的平方加到分母，它虽与两个对比独立，却有均值$\sqrt{3}$；$V+W^2$于是为非中心${\chi }_5^2(3)$。分母不再中心，不能只把原分母自由度4换成5后继续用单非中心F。共同均值整体平移后，这个新分母的非中心参数还会改变。

任务三的精确均值校准以IID正态样本为输入。先确认这一分布假设，再使用正文从标准化均值与独立尺度构造的t统计量；任务一的二项交并规则不需要改成正态模型。

任务三：同一份读数，三种区间 ​

五个正态IID读数为$(-.1,-.1,0,.1,.1)$。预设均值等效边界是$(-.1,.1)$、水平$.05$。此外，要求一份90%单个未来读数的预测区间，以及一份含量$p=\mathrm{\Phi }(1)$、置信$.95$的单侧总体上容忍限。分别给出结果，并说明哪些概率是在重复整份抽样下计算的。

完整答案 ​

$\overline{X}=0,S=.1,\nu =4$。双单侧检验理路等效性检验与双单侧TOSTEquivalence test · Two one-sided tests · TOST · 双单侧等效检验将预设等效区间外的复合零假设拆成两个单侧检验，证明无需Bonferroni的整体校准、等尾区间包含规则与共享尺度下的真实功效。的两个统计量为$\sqrt{5}$与$-\sqrt{5}$，整体p值

$$\frac{27-11\sqrt{5}}{54}\in (.044504671250042839,.044504671250042840).$$

因此均值等效通过。$t_{.95,4}$在$(2.131846,2.131847)$内，所以等尾90%均值置信区间的半宽在$(.09533905,.09533910)$内，整个区间严格落在预设边界中。

90%未来预测区间使用$S\sqrt{1+1/n}$，半宽在$(.23353202,.23353214)$内。其概率对训练样本和独立新$Y$共同取平均；给定这份样本后，它的真实总体含量仍依赖未知参数，不能直接称为“已知90%总体被包含”。

容忍上限理路正态容忍区间与总体含量认证Normal tolerance interval · Normal tolerance limit · 正态容忍限 · 正态容限区间分清对样本的置信与对总体的含量，用非中心t构造精确单侧正态容忍限，并证明双侧保守因子和对称精确因子的积分刻画。则要求重复抽样时，至少95%的输出上限各自覆盖不少于$\mathrm{\Phi }(1)$总体。它使用

$$k=\frac{q_{.95}(t_4(\sqrt{5}))}{\sqrt{5}}.$$

两端可复核的CDF包围为

$$F_{4,\sqrt{5}}(\sqrt{5}\cdot 2.809)\in (.949993619275252915,.949993619275252916),$$$$F_{4,\sqrt{5}}(\sqrt{5}\cdot 2.810)\in (.950051632666963031,.950051632666963032).$$

所以真正因子在$(2.809,2.810)$内。取安全上端$k=2.810$，输出上容忍限$.281$。这无法认证规格上限$.1$具有所要求的含量/置信；但它也没有证明真实总体含量不足。

“均值在范围内”“一个未来值的边缘预测”“以置信保证总体含量”分别使用不同的随机事件，不能因数据相同而合并结论。

任务四：规划预算和保守保证各交一份证书 ​

先在已知$\sigma =1$的正态均值模型中，规划边界$\pm .5$、水平$.05$、真均值0时功效至少$.8$的TOST。能否沿用单侧问题里的25个样本？

再考虑另一个未知尺度任务：只有两个正态IID样本，要构造双侧、总体含量至少$.5$且置信至少$.81$的容忍区间。有人直接把两个单侧中位数容忍限拼起来；请给一个完整且不依赖这项拼接的保守构造。

完整答案 ​

第一问的同时通过概率是

$${[2\mathrm{\Phi }(\frac{\sqrt{n}}{2}-z_{.95})-1]}_{+}.$$

它随$n$单调增加。公开程序向外认证：$n=25$的功效在$(.60752987,.60752989)$内，$n=34$在$(.79613695,.79613696)$内，$n=35$在$(.81087980,.81087981)$内。因此首次达到$.8$的是35，25不足。这里使用预设真实尺度进行规划；换成未知尺度问题后，应计算共享随机分母的条件功效，而不是把两份边缘功效相乘。

第二问令$\nu =1$，分别分配均值坏事件和尺度坏事件概率$.1$。由正态分解独立，两项同时成功的概率为${.9}^2=.81$。双侧保守公式需要

$$k_{\ast }=\frac{z_{.75}+z_{.95}/\sqrt{2}}{z_{.55}},$$

因为${\chi }_1^2$的$.1$分位数为$z_{.55}^2$。向外CDF比较给$z_{.75}<.675$、$z_{.95}<1.645$、$z_{.55}>.125$，故

$$k_{\ast }<\frac{.675+1.645/\sqrt{2}}{.125}<15.$$

因此$[\overline{X}-15S,\overline{X}+15S]$是一份有证明的合格程序。若实际样本为$(-1,1)$，则$\overline{X}=0,S=\sqrt{2}$，区间为$[-15\sqrt{2},15\sqrt{2}]$。它很宽，反映的是这份两事件充分构造的保守程度；没有声称这是最小对称因子，更不能从它推断所有合格程序都必须这样宽。

两个各自有效的单侧容忍限，控制的是两个单侧总体含量事件。它们的交集含量还要扣除两边的遗漏，置信也要重新组合。上面的构造直接保证区间包含真实中心50%总体段，避免了把单侧合同错误拼接。

数值证书怎样复查 ​

下载标准库核验程序与向外包含结果。所有最终比较使用有理数或220位二进制网格上的向外区间；浮点显示不参与接受判定。

平方根通过整数平方根给上下界。指数函数先把参数缩到$[0,1/8]$，累加正项Taylor级数，用首遗漏项和后续项比的几何和控制尾部，再反复平方；负参数取倒数。正态CDF使用

$$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^j{x}^{2j+1}}{2^{j}j!(2j+1)},x\ge 0.$$

这来自把$e^{-u^2/2}$在$[0,x]$上一致收敛的级数逐项积分。程序等到后续项绝对值递减后，用首遗漏项夹住交错余项；负$x$用对称性。$\pi$由$16\arctan \left(1/5\right)-4\arctan \left(1/239\right)$及交错余项包围。这项恒等式可由正切加减公式和角度范围核对：$4\arctan \left(1/5\right)-\arctan \left(1/239\right)$的正切为1，且角度在$(0,\pi /2)$内。

这些基本函数的区间输入按单调性与四则运算传播。非中心$t_4$使用正文已证明的闭式，非中心F另用有限Poisson混合加尾界。一般自由度的积分、双侧最小容忍因子的嵌套反演，正文给出可终止的数学计算接口；本程序只认证这里列出的有限实例，没有伪称实现所有分布参数的高效通用软件。