等效性检验与双单侧TOST

两个失败方向，只需防住真实的那个 ​

若真实$\theta \le L$，整体错误等效声明必然包含错误拒绝左侧零假设，概率至多$\alpha$。若真实$\theta \ge U$，改用右侧即可。这正是交并原理的证明，不要求$p_L,p_U$独立。

Bonferroni常处理“只要一项错误拒绝就算出错”的并事件。这里的等效声明要求两个拒绝同时成立，是交事件；错误的集合结构不同。若研究另外允许从多个候选对象中挑任意一个宣布等效，外层又出现新的并事件，需要另行控制。

为什么在边界用中心t足够 ​

令$Z=\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )/\sigma$、$R=S/\sigma$，则$Z$为标准正态，$\nu R^2\sim {\chi }_{\nu }^2$，且两者独立。于是

在$\mu =L$时它是中心t；在$\mu <L$时，固定同一$Z,R$后其值逐样本更小，因此右尾拒绝概率不会增大。右侧检验同理。这个耦合也说明式(3)的p值在整个复合零假设下有效，而不只是两个边界点有效。

该随机比值正是带符号的非中心t理路非中心χ²、t与F分布Noncentral distributions · Noncentral chi-square distribution · Noncentral t distribution · Noncentral F distribution · 非中心卡方分布 · 非中心t分布 · 非中心F分布先移动正态均值再平方或除以独立随机尺度，统一得到非中心χ²、t和F，并用Poisson混合与条件积分计算备择下的功效。。非中心参数使用真实$\sigma$，不是观察后将$S$代入而得到的一项随机“效应参数”。

区间反演必须保留两条单侧合同 ​

第一项拒绝要求$\overline{X}-c{s}_e>L$，第二项要求$\overline{X}+c{s}_e<U$，合起来就是式(5)。这使用检验与置信界的反演理路置信集合与检验的对偶Confidence set and test duality · Test inversion逐参数反演 level 检验得到覆盖置信集合，并由置信集合反构造点零假设检验。，并且分别保留了两条$1-\alpha$单侧界。

$\alpha =.05$时，通常说“90%区间完全落入等效边界”，这个90%来自两个各5%的尾。它没有把检验水平降为10%，也不允许随便拿一种90%区间替代指定的等尾构造。

五个读数的均值等效 ​

读数为$(-.1,-.1,0,.1,.1)$。有$\overline{X}=0$、$S=.1$、$\nu =4$。预设边界为$(-.1,.1)$，则$t_L=\sqrt{5}$、$t_U=-\sqrt{5}$。中心$t_4$的对称性给两侧相同p值，精确为

这可由$t_4$密度积分，也可在非中心分布页四自由度闭式中令$\delta =0$直接得到。$t_{.95,4}\approx 2.13185$，故等尾90%区间半宽约$.09534$，确实小于$.1$。均值等效结论不表示每个未来读数都落在这段内；总体含量的要求转到容忍区间理路正态容忍区间与总体含量认证Normal tolerance interval · Normal tolerance limit · 正态容忍限 · 正态容限区间分清对样本的置信与对总体的含量，用非中心t构造精确单侧正态容忍限，并证明双侧保守因子和对称精确因子的积分刻画。，概率命题会改变。

反过来，若某次$\overline{X}=0$而标准误为$.5$，检验均值是否为0不会拒绝，TOST却不能通过$(-.1,.1)$：式(4)的允许区间已经为空。未拒绝零差异并没有提供小差异的证据。

不对称90%区间可以破坏5%声明 ​

设已知标准误为1，$\hat{\theta }\sim N(\theta ,1)$。令$z_p={\mathrm{\Phi }}^{-1}(p)$。区间

的覆盖率恰为$.91-.01=.90$，但其左端与右端分别使用9%和1%的检验尾。若等效区间为$(0,10)$，在真实$\theta =0$时，包含拒绝规则的概率为

例如$z_{.99}<3$，所以最后的上尾小于$P(Z>7)<.01$，已经足以严格推出拒绝率大于$.08$。总覆盖90%没有单独保证两侧各至多5%。

离散TOST的实际size可能更小 ​

设$X\sim \mathrm{Binomial}(10,p)$，目标为$p\in (1/5,4/5)$，水平$.05$。用二项分布理路二项分布Binomial distribution固定次数独立同概率 Bernoulli 试验中成功总数的离散分布。的精确尾概率

将十个Bernoulli变量都写成$\mathbf{1}\{U_i\le p\}$可见$X$随$p$逐样本增大，故边界尾在相应复合零假设下有效。逐个检查$x=0,\dots ,10$，只有$x=5$两侧都通过；此时两侧尾都是$320249/9765625\approx .0327935$。

整体错误拒绝率因此是$P_p(X=5)=252p^5(1-p{)}^5$。它在$[0,1/2]$递增、在$[1/2,1]$递减，故在区间外的最大值于$p=1/5$或$4/5$取得，等于

水平至多5%仍然成立，但不能把它写成实际size必等于5%。离散性之外，同时满足两个拒绝也可能增加保守性。

目标、模型与预先选择 ​

配对数据先取每对差$D_i$，若这些差为IID正态，就对差的均值用式(3)；不要求同一对的两个原读数独立。两独立正态组若有共同方差且$n_1,n_2\ge 2$，则用均值差、合并方差标准误$S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}$与$\nu =n_1+n_2-2$。异方差时直接采用Welch自由度一般是近似版本，不能无条件保留本页精确t校准。

若对正比值$R_i$先取$D_i=\log R_i$，所检验的是$E\log R$及其指数，即几何均值尺度。比如$\log R\sim N(0,1)$时，$\exp (E\log R)=1$，却有$ER=e^{1/2}$。几何均值比等效不会自动证明算术均值比等效。

边界必须由任务要求预先给出。看完区间后再把$L,U$移到能包含它的位置，改变了被校准的随机规则。$S=0$在所设非退化连续正态模型下概率为零；实际读数若因舍入全部相同，应报告尺度计算退化并检查观测模型，不能用除零计算制造等效结论。

规划功效是同时通过的概率 ​

先考虑已知$\sigma$，令$s_e=\sigma /\sqrt{n}$、$c=z_{1-\alpha }$。若$L+c{s}_e\ge U-c{s}_e$，接受等效的区域为空，功效为零；否则在真实均值$\mu$下，功效为

对$L=-\mathrm{\Delta },U=\mathrm{\Delta },\mu =0$，它化为

因此要达到$1-\beta$，其中$0<\beta <1$，所需最小整数样本量为

例如$\sigma =1,\mathrm{\Delta }=.5,\alpha =.05$、目标功效$.8$时，$n=34$的功效约$.796137$，$n=35$约$.810880$，首次达标是35。$n=25$仅约$.607530$；单侧检验中另一项样本量计算不能直接移来。

未知尺度时，令$a=\sqrt{n}(L-\mu )/\sigma$、$b=\sqrt{n}(U-\mu )/\sigma$、$R=\sqrt{V/\nu }$、$V\sim {\chi }_{\nu }^2$、$c=t_{1-\alpha ,\nu }$。条件于$R$后，共享的$Z$必须落在$(a+cR,b-cR)$，所以功效为

两个单侧统计量共享同一均值和同一样本方差，整体功效一般不等于两个非中心t边缘功效的乘积。式(10)可以按非中心分布页的正密度积分包围方式复算，但须同时控制该新被积函数及尾部误差。

计算与报告 ​

单样本实现先检查$n\ge 2$、边界顺序和尺度非退化，再用$O(n)$次算术统计均值与离差平方和，额外存储可为常数；随后调用两次中心t的CDF，或比较式(4)的两个不等式。CDF或分位数的评估成本和精度独立于这项样本汇总成本。接近阈值时，应保留数值包含误差，不能让显示到三位的小数决定拒绝。

报告至少包含目标参数、预设边界、模型、两个单侧p值和整体结论。若任务只要求排除一侧不可接受差异，就是非劣性等单侧问题，复用单侧水平与功效理路第一/第二类错误与检验功效Type I and type II errors · Power function检验在零假设下错误拒绝、在备择下未拒绝的概率及其参数化拒绝能力。即可；它并未同时排除另一侧，不应改名成双侧等效。