正态容忍区间与总体含量认证

均值估得准，不代表产品或读数本身集中。容忍区间面对的是后一类问题：希望输出的范围包含总体中至少一定比例，同时对这个比例声明保留重复抽样保证。这里必然出现两层概率，它们对应两个不同的随机来源。

形式陈述

含量和置信分别指向什么

设 $X=(X_1,\ldots,X_n)$ 为IID样本，来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ ，其中 $n\ge2$ 、 $\mu\in\mathbb R$ 、 $\sigma>0$ 。另有独立未来观测 $Y$ 来自同一总体。由样本输出一个可测区间 $C(X)$ ，可有无穷端点。给定样本后的总体含量为

c_{\mu,\sigma}(X) =P_{\mu,\sigma}\{Y\in C(X)\mid X\}. \tag{1}

例如 $C(X)=[L(X),U(X)]$ 时，

c_{\mu,\sigma}(X) =\Phi\!\left(\frac{U(X)-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\!\left(\frac{L(X)-\mu}{\sigma}\right).

固定 $0<p<1$ 、 $0<\gamma<1$ 。若对每个允许的 $(\mu,\sigma)$ 都有

P_X\{c_{\mu,\sigma}(X)\ge p\}\ge\gamma, \tag{2}

则 $C$ 称为含量 $p$ 、置信水平 $\gamma$ 的容忍区间。内层概率是同一总体的含量，外层概率是重新抽取整份样本后，输出区间能否达到该含量。参数保持固定，并未因观察数据而成为具有后验概率的随机量。

精确单侧正态上限

记 $\bar X,S$ 为通常样本均值与无偏样本方差的平方根， $\nu=n-1$ 、 $z_p=\Phi^{-1}(p)$ 。令 $q_\gamma(t_\nu(\delta))$ 表示非中心t的 $\gamma$ 分位数。定义

k_{n,p,\gamma} =\frac{q_\gamma(t_{n-1}(\sqrt n\,z_p))}{\sqrt n}, \qquad U(X)=\bar X+k_{n,p,\gamma}S. \tag{3}

则 $C(X)=(-\infty,U(X)]$ 满足式(2)，而且外层概率恰为 $\gamma$ 。对称地下限 $L(X)=\bar X-k_{n,p,\gamma}S$ 使 $[L(X),\infty)$ 有同样合同。这里上下限是分别使用的单侧程序；把两者拼成有限区间并不自动保留原来的 $p,\gamma$ 。

式(3)允许一般的 $p,\gamma\in(0,1)$ ，所以 $k$ 不必恒正；通常关心较高含量与置信时才得到正的扩张因子。分位数由连续严格递增的非中心t CDF唯一确定。

直觉

标准化把未知参数消掉

IID正态样本给

Z=\frac{\sqrt n(\bar X-\mu)}\sigma\sim N(0,1), \qquad V=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi_\nu^2, \qquad Z\perp V. \tag{4}

这是正态均值与样本尺度的独立分解。单侧含量至少 $p$ 等价于 $U\ge\mu+z_p\sigma$ ，再写成

\frac{\sqrt n z_p-Z}{\sqrt{V/\nu}}\le\sqrt n k. \tag{5}

因为 $-Z$ 仍为独立标准正态，左侧正是 $t_\nu(\sqrt n z_p)$ 。取其 $\gamma$ 分位数，立刻得到外层概率 $\gamma$ ，且它不含未知的 $\mu,\sigma$ 。下限结论用 $Z$ 代替 $-Z$ ，分布相同。

非中心参数的符号和位置都很重要：它是 $\sqrt n z_p$ ，先加在正态分子，再除以随机样本尺度。把中心t分位数简单加上 $\sqrt n z_p$ ，一般会得到错误的因子。

三类区间的概率合同不同

均值置信区间保证重复抽样时包含固定均值的概率。例如 $\bar X\pm t_{1-\alpha/2,\nu}S/\sqrt n$ 覆盖 $\mu$ 的概率为 $1-\alpha$ 。

预测区间针对一个新 $Y$ 。由于 $Y-\bar X$ 的方差为 $\sigma^2(1+1/n)$ ，且该正态变量与 $S$ 独立，

\frac{Y-\bar X}{S\sqrt{1+1/n}}\sim t_\nu.

因此 $\bar X\pm t_{1-\alpha/2,\nu}S\sqrt{1+1/n}$ 对一个未来值有边缘覆盖 $1-\alpha$ 。由全期望公式，这只说明 $E_Xc_{\mu,\sigma}(X)=1-\alpha$ ，并未说明多少份样本会达到某个指定的含量 $p$ 。

容忍合同式(2)直接控制含量随机变量的下尾。比如一般 $0\le c\le1$ 的变量可能以概率 $.9$ 取1、以概率 $.1$ 取0；它平均为 $.9$ ，却不能据此证明 $P(c\ge.9)\ge.95$ 。平均覆盖与高置信含量是两个不同要求。

例子与边界

五个样本：均值结论与含量结论分开报告

仍取读数 $(-.1,-.1,0,.1,.1)$ ，于是 $\bar X=0$ 、 $S=.1$ 、 $\nu=4$ 。TOST可以在5%水平证明均值处于预设 $(-.1,.1)$ 内。

现在任务改为：以 $\gamma=.95$ 的置信，给出至少 $p=\Phi(1)\approx.841345$ 总体含量的上限。由于 $z_p=1$ ，式(3)需计算

k=\frac{q_{.95}(t_4(\sqrt5))}{\sqrt5} \approx2.80910992. \tag{6}

因此精确因子给 $U\approx.280910992$ 。非中心分布页的四自由度闭式支持直接向外包围，具体得到

F_{4,\sqrt5}(\sqrt5\cdot2.809) <.949994<.95,

F_{4,\sqrt5}(\sqrt5\cdot2.810) >.950051>.95. \tag{7}

所以 $2.809<k<2.810$ 。若需要保留至少95%的单侧保证，使用上端因子 $2.810$ ，得到 $U=.281$ ；不能把任意四舍五入的小数都视为向安全方向舍入。

这份程序未能认证“至少84.13%总体位于 $.1$ 以下”，因为其认证上限仍大于 $.1$ 。它没有证明真实含量必然不足。

五个样本对应的均值区间、预测区间、单侧容忍范围，以及容忍因子的置信曲线 — 总体含量与重复抽样置信

左图三行对应不同概率事件，单侧容忍范围的左箭头延伸至负无穷；右图的水平线是外层置信 $.95$ ，总体含量另外固定为 $\Phi(1)$ 。

均值与总体集中程度逻辑上也确实不同：例如总体 $N(0,1)$ 的均值严格在 $(-.1,.1)$ ，却仅有 $\Phi(.1)\approx.539828$ 的总体位于 $.1$ 以下。

两个样本时化成最大值

取 $n=2,p=.5,\gamma=.75$ 。此时 $z_p=0$ ，非中心t回到中心 $t_1$ ，即标准Cauchy；其 $.75$ 分位数为1，因此 $k=1/\sqrt2$ 。又有

S=\frac{|X_1-X_2|}{\sqrt2},\qquad \bar X+\frac S{\sqrt2}=\max(X_1,X_2).

它的至少一半总体含量事件，就是最大值不小于总体中位数，概率为 $1-(1/2)^2=3/4$ 。这项特例还对一般连续IID总体成立；既有顺序统计量覆盖给出不依赖正态的另一条构造路线。一般 $n,p,\gamma$ 下式(3)则明确消费了正态位置尺度模型。

不可忽略的模型边界

$n=1$ 没有这里使用的样本方差； $\sigma=0$ 不满足标准化条件。样本若相关、来自混合总体或经过依赖观测值的筛选，式(4)一般失效。仅凭样本直方图近似对称，不能把精确正态容忍保证扩展到任意分布。

在非退化正态总体中，任何有限上限的含量都小于1，所以 $p=1$ 不能沿用有限式(3)。固定 $p<1$ 时，提高 $\gamma$ 要求更大的分位数和更保守的上限。观察后擅自调低 $p$ 或 $\gamma$ 以配合结论，也是在改变预先约定的报告任务。

推论与应用

可直接证明的双侧保守因子

希望输出 $[\bar X-kS,\bar X+kS]$ ，且总体含量至少 $p$ 。任选 $\delta_\mu,\delta_\sigma\in(0,1)$ ，使

(1-\delta_\mu)(1-\delta_\sigma)\ge\gamma.

令 $a=z_{1-\delta_\mu/2}$ 、 $z=z_{(1+p)/2}$ ，并令 $q_{\delta_\sigma,\nu}$ 为中心卡方的下侧 $\delta_\sigma$ 分位数。取

k=\left(z+\frac a{\sqrt n}\right) \sqrt{\frac{\nu}{q_{\delta_\sigma,\nu}}}. \tag{8}

证明同时考虑 $|Z|\le a$ 与 $V\ge q_{\delta_\sigma,\nu}$ 。由式(4)的独立性，两事件交集概率恰为 $(1-\delta_\mu)(1-\delta_\sigma)$ 。交集上

|\bar X-\mu|\le a\sigma/\sqrt n, \qquad S\ge\sigma\sqrt{q_{\delta_\sigma,\nu}/\nu},

所以 $kS\ge z\sigma+|\bar X-\mu|$ ，从而输出区间包含 $[\mu-z\sigma,\mu+z\sigma]$ 。后者总体含量恰为 $p$ ，式(2)即成立。

如果只使用并集上界，条件 $\delta_\mu+\delta_\sigma\le1-\gamma$ 也足够；本正态模型保留独立性可得到较大的交集概率。式(8)有明确证明，但没有声称是最短区间或最小对称因子。

最小对称因子怎样精确定义

对实数 $a$ ，令 $r_p(a)>0$ 是方程

\Phi(a+r)-\Phi(a-r)=p \tag{9}

的唯一解。左侧随 $r$ 连续严格增加，从0趋于1，所以解存在唯一。它随 $a$ 连续、关于 $a$ 偶对称，并随 $|a|$ 增加：固定 $r$ 时，对 $a\ge0$ 求导得 $\phi(a+r)-\phi(a-r)\le0$ ，因而偏离中心要用更大的半宽。

给定 $Z$ 后，区间 $\bar X\pm kS$ 的标准化中心是 $Z/\sqrt n$ ，半宽为 $k\sqrt{V/\nu}$ 。其含量至少 $p$ 恰好等价于这个半宽至少 $r_p(Z/\sqrt n)$ 。因此对 $k>0$ ，精确置信函数是

H(k)=E_Z\left[ 1-F_{\chi_\nu^2}\!\left( \frac{\nu\,r_p(Z/\sqrt n)^2}{k^2} \right)\right]. \tag{10}

每个固定 $Z$ 的条件成功概率随 $k$ 连续严格增加，从0趋于1；被积函数在 $[0,1]$ 中，控制收敛定理允许将参数极限移入期望，因此积分也连续并有相同两端极限；严格递增则由每个固定 $Z$ 处的严格增加直接给出。于是 $H(k)=\gamma$ 有唯一解；它是在固定中心 $\bar X$ 、固定倍数半宽 $kS$ 这类程序中的最小合格因子。没有比较任意不对称或数据依赖形状的所有程序。

这也提供能复核的计算路线：先截断 $|Z|\le B$ ，尾部贡献放在 $[0,P(|Z|>B)]$ ；在 $[0,B]$ 分段，利用 $r_p$ 随非负输入增加而让条件成功概率递减，用端点值乘每段的正态质量给上下和。式(9)用严格递增函数的可靠括界求解，中心卡方CDF也向外包围。连续性保证紧区间上下和随网格加细趋同，再增大 $B$ 控制尾部。外层寻找 $H(k)=\gamma$ 可采用非中心分布页的双探点收缩策略，避免恰遇分位数时无限等待一个中点判号。

一般算法的成本由外层括界更新、正态网格段数、内层 $r_p$ 求解和中心CDF精度共同决定，不能简写成一次查表的常数成本。Howe等实用近似也可用于初选因子，但除非另有误差控制，近似公式本身不等于式(10)的精确认证。

参考资料

NIST/SEMATECH，e-Handbook of Statistical Methods，§7.2.6.3 Tolerance intervals for a normal distribution，总体含量与置信、单侧非中心t联系，以及双侧/单侧近似因子的范围。该手册的置信记号与本文 $\gamma$ 不同。
Roy H. Wampler，One-Sided Tolerance Limits for the Normal Distribution, P = 0.80, γ = 0.80，Journal of Research of the National Bureau of Standards—B80B(3):343–346，1976，单侧正态容忍因子和非中心t关系。
R Core Team，Student's t Distribution，官方stats参考，非中心t的随机比值定义。本文另以式(4)–(5)展开容忍事件到该分布的完整变换。

形式陈述 ​

含量和置信分别指向什么 ​

精确单侧正态上限 ​

标准化把未知参数消掉 ​

三类区间的概率合同不同 ​

五个样本：均值结论与含量结论分开报告 ​

两个样本时化成最大值 ​

不可忽略的模型边界 ​

可直接证明的双侧保守因子 ​

最小对称因子怎样精确定义 ​

反向链接