非中心χ²、t与F分布

位移进入平方，产生混合层数 ​

对一个标准正态$Z$和固定$a$，在$t<1/2$时配方积分得

独立相乘得到矩母函数理路矩母函数Moment-generating function · MGF在存在邻域内以 E[e^{tX}] 编码随机变量各阶矩的函数。

将指数部分写成$e^{-r}\exp \{r/(1-2t)\}$并展开，

右侧正是Poisson权重理路Poisson 分布Poisson distribution · 泊松分布以强度参数描述固定窗口内稀有事件计数的离散分布。混合中心卡方的矩母函数。它们在零附近存在，由矩母函数唯一性得到式(4)。这里$K$是分布表示中的辅助变量，不是原观测里已经看见的一个样本数。

对式(10)求导，或对式(4)使用全期望与全方差，得到

这也说明${\chi }_k^2(\lambda )$不等于“中心卡方加常数$\lambda$”：后者方差仍为$2k$。

随机分母改变的不只是中心位置 ​

式(8)实际使用条件期望理路条件期望Conditional expectation以信息分组的加权平均建立条件期望直觉，再连接测度定义、最小均方预测、塔式性质和可计算反例。：给定$V=v$，式(2)不超过$t$恰好等价于$Z\le t\sqrt{v/\nu }-\delta$。再对$v$的密度积分即可。相同条件化还给密度

所以CDF连续严格递增，有唯一的内部概率分位数。固定同一$Z,V$，增加$\delta$会逐样本增大$T$；固定$t$时，CDF随$\delta$递减。

非中心t一般也不是$t_{\nu }+\delta$。例如$\nu =1,\delta =1$，非中心变量不超过0的概率为$\mathrm{\Phi }(-1)\approx 0.1587$，而中心Cauchy平移1后不超过0的概率是$1/4$。位移发生在除尺度之前与之后，得到两种不同分布。

式(9)来自$(Z+\delta {)}^2\sim {\chi }_1^2({\delta }^2)$，分母仍独立；式(6)则实际使用中心F的独立卡方比理路F 分布F-distribution · Fisher–Snedecor distribution两个独立卡方变量分别除以自由度后所得比值的正值分布。，把条件分子按新的自由度标准化后，再补回原有比例。

正态均值检验的备择分布 ​

若$X_i$为IID $N(\mu ,{\sigma }^2)$、$n\ge 2$、$\sigma >0$，正态样本均值与样本方差的独立分解给

例如单侧检验使用中心t分位数理路Student t 分布Student's t-distribution · t distribution由独立正态分子与卡方随机尺度定义 t 分布，解释自由度、重尾机制及正态样本均值的精确推断。$c=t_{1-\alpha ,n-1}$定阈值；在真实效应$\mu -{\mu }_0$下，功效为$1-F_{n-1,\delta }(c)$。阈值来自零假设，功效来自备择分布，两者不能都用同一个中心CDF。

正态模型中的$\delta$使用真实$\sigma$。将本次观测的$S$代回去得到的“事后功效”是另一项数据函数，不会自动变成预先设计的真实拒绝概率。

只计算被检验方向上的位移 ​

设$Y\sim N_7(m,I)$，其中

只检验前两个方向，以

组成$F=(Q/2)/(V/4)$。由联合正态正交坐标的独立性理路多元正态分布Multivariate normal distribution · Multivariate Gaussian distribution · Jointly Gaussian vector以所有线性组合都正态刻画联合高斯向量，并由特征函数连接线性构造、退化支撑、全维密度与条件分布。，$Q\sim {\chi }_2^2(2)$与$V\sim {\chi }_4^2$独立，所以$F\sim F_{2,4}(2)$。第三个方向的均值10没有进入检验或分母，不能把总平方长度102当成非中心参数。

一般正交投影$P$的非中心参数是$\Vert Pm{\Vert }^2$。用于分母的正交残差投影还必须消掉真实均值；若残差均值也不为零，分母不再中心，本页式(3)不适用。

对这个例子，令$b=x/(x+2)$。中心F的Beta变换使式(7)的第$j$项CDF等于

它可以直接由密度$(j+1)(j+2)u^j(1-u)$在$[0,b]$积分得到。用$r=1$的Poisson权重求和，得到

$x=3$时$b=3/5$，所以

同一阈值在中心$F_{2,4}$下的上尾为$(1-b{)}^2=4/25$。这个特意选择的阈值方便精确复算；它对应水平$0.16$，不是未经计算的“通常5%阈值”。

参数与支撑边界 ​

若正态协方差不是单位矩阵，应先按所检验的几何白化。相关正态原坐标的平方和一般是加权二次型，不能仅凭均值非零套式(1)。

$\lambda$不能为负，$\delta$却允许两种符号。$k,d_1,d_2,\nu$在本页都严格为正；将$k=0$放进Poisson延拓时，$K=0$会产生位于零的原子，质量为$e^{-\lambda /2}$，不能继续把全部分布写成连续密度。整数维构造中零维向量更不能有非零位移。

取非中心F的倒数会把非中心构件移到分母，一般不是把$d_1,d_2$交换后仍保留同一个单非中心F标签。只有中心情形才有旧页中的简单倒数公式。

共享混合的有限误差预算 ​

对式(5)或式(7)，只累加$j=0,\dots ,M$的项，记结果为$S_M$，则

因为每项中心CDF都在$[0,1]$，遗漏的总贡献不会超过遗漏的Poisson质量。相同结论直接适用于上尾分量，避免先算接近1的CDF再相减造成消减误差。

权重递推为$w_0=e^{-r}$、$w_{j+1}=w_{j}r/(j+1)$。若$M+2>r$，还可用

证明是从首个遗漏项起，其后相邻比值都不超过$r/(M+2)<1$。算法递推到该尾界和各中心CDF评估误差共同小于预算，再输出包含区间。需$M+1$次中心CDF调用和$O(M+1)$算术操作；逐项累加只需常数个工作变量。有理数位成本、极大$r$的下溢和中心CDF本身的成本另计，不能把一项库函数调用当成无误差常数。

非中心t也有可终止的积分包围 ​

式(8)中的$g(v)=\mathrm{\Phi }(t\sqrt{v/\nu }-\delta )$随$v$单调，方向由$t$决定。在$0=v_0<\cdots <v_M=B$上，每一段的贡献被

和相应最大值夹住；$V>B$的未知贡献放在$[0,P(V>B)]$。中心卡方连续，不存在端点原子。使用带误差的CDF与正态CDF时，将它们的包含误差也传播进去。

这个办法不只是停机希望。由$EV=\nu$及Markov不等式理路Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。，尾质量至多$\nu /B$；若网格宽度至多$h$，则$\sqrt{v}$的变化至多$\sqrt{h}$，而$\mathrm{\Phi }$的导数至多$1/\sqrt{2\pi }$。主区间上下和之差因而至多$|t|\sqrt{h/(2\pi \nu )}$。先增大$B$、再减小$h$，便可达到任意预设正误差；$t=0$直接返回$\mathrm{\Phi }(-\delta )$。这是保守的存在性与计算接口，不是高效数值实现的最优复杂度声明。

若内部概率$p\in (0,1)$的分位数要达到精度$\epsilon >0$，先向左右扩展搜索，并收紧CDF误差，直到认证$F(a)<p<F(b)$；两端极限为0、1保证能找到这样的有限括界。单纯只检查中点存在一个停机陷阱：若中点恰为真实分位数，再小的包含误差也可能跨过$p$。

可以同时检查$x_1=a+(b-a)/3$、$x_2=a+2(b-a)/3$，逐轮将两处CDF误差减半。严格递增使它们不能同时满足$F(x_i)=p$，所以至少一处最终能认证$F(x_i)<p$或$F(x_i)>p$。前者更新左端为$x_i$，后者更新右端为$x_i$；每次都保留真实分位数，而且宽度至多乘$2/3$。初宽为$W$时，至多$max\{0,\lceil \log \left(W/\epsilon \right)/\log \left(3/2\right)\rceil \}$次已认证更新便达到目标。每次更新可能需要不同次数和精度的CDF评估，这部分成本另计；没有可靠包含时应保留未认证括界。

四自由度的可复算闭式 ​

$\nu =4$时可避免数值积分。对任意实$t,\delta$，令

则

证明从$R=\sqrt{V/4}$开始。其上尾为$P(R>r)=(1+2r^2)e^{-2r^2}$。在式(8)中分部积分，CDF成为$\mathrm{\Phi }(-\delta )+t(J_0+2J_2)$，其中

配方并令$z=\sqrt{A}(r-b)$，有$J_0=K\mathrm{\Phi }(q)$。再利用

得到$J_2=K\{(b^2+1/A)\mathrm{\Phi }(q)+(b/\sqrt{A})\varphi (q)\}$，即式(16)。这些积分恒等式由${\varphi }^{\prime }(z)=-z\varphi (z)$直接分部积分得到。

正态容忍上界理路正态容忍区间与总体含量认证Normal tolerance interval · Normal tolerance limit · 正态容忍限 · 正态容限区间分清对样本的置信与对总体的含量，用非中心t构造精确单侧正态容忍限，并证明双侧保守因子和对称精确因子的积分刻画。把总体含量要求变成非中心t分位数；五样本时正好使用式(16)。等效性检验理路等效性检验与双单侧TOSTEquivalence test · Two one-sided tests · TOST · 双单侧等效检验将预设等效区间外的复合零假设拆成两个单侧检验，证明无需Bonferroni的整体校准、等尾区间包含规则与共享尺度下的真实功效。的两个单侧功效也可用本页接口计算，但它们共享均值与样本尺度，整体同时通过的概率一般不能用两份边缘功效相乘。