交并检验原理 | Codeboy's Blog

“每一项要求都已满足”与“至少找到一项成功”是两种不同的声明。前一种声明只有在所有检查通过时才出现；只要仍有一项要求实际上不满足，误报全部成功就必然包含对这一项的误报。交并检验把这条逻辑变成统一的错误概率保证。

形式陈述

并起来的原假设，交起来的拒绝域

给定统计模型 $\{P_\theta:\theta\in\Theta\}$ 和预先确定的有限集合 $A_1,\ldots,A_m\subseteq\Theta$ ， $m\ge1$ 。所检验的总体假设是

H_0:\theta\in A:=\bigcup_{i=1}^m A_i, \qquad H_1:\theta\in A^c=\bigcap_{i=1}^m A_i^c. \tag{1}

每个分量原假设都为假，才属于总体备择。设对 $H_{0i}:\theta\in A_i$ 已经有level-$\alpha$检验的拒绝事件 $R_i$ ，即

\sup_{\theta\in A_i}P_\theta(R_i)\le\alpha, \qquad0<\alpha<1.

交并检验在

R=\bigcap_{i=1}^m R_i \tag{2}

发生时才拒绝总体 $H_0$ 。则

\sup_{\theta\in A}P_\theta(R)\le\alpha. \tag{3}

各分量统计量可以来自同一批数据，也可以任意依赖。每项使用水平 $\alpha$ ，不必改为 $\alpha/m$ 。

p值接口

若 $p_i(X)$ 是对 $A_i$ 统一有效的p值，则

p_{\rm IUT}(X)=\max_{1\le i\le m}p_i(X) \tag{4}

是对并原假设 $A$ 有效的p值。采用 $p<\alpha$ 拒绝时，式(4)恰好要求所有 $p_i<\alpha$ ；若采用 $p\le\alpha$ ，各处同时换成非严格约定即可。离散模型中，临界相等的处理会改变具体拒绝集合。

若各分量只有level- $\alpha_i$ 保证，相同交拒绝法给总体level- $\max_i\alpha_i$ ，一般不能声称level- $\min_i\alpha_i$ 。

直觉

证明只需找出一个真实分量

固定任意 $\theta\in A$ ，至少存在一个 $i$ 使 $\theta\in A_i$ 。由 $R\subseteq R_i$ ，

P_\theta(R)\le P_\theta(R_i)\le\alpha.

再对 $\theta\in A$ 取上确界便得式(3)。被选中的 $i$ 可以随真实参数变化；它只用于证明，不是看数据后挑选一个方便检验。整个论证没有把概率相加，也没有将概率相乘，所以无需独立性。

同理，对任意 $u\in[0,1]$ ，

P_\theta\{\max_jp_j\le u\} \le P_\theta\{p_i\le u\}\le u,

证明式(4)的超均匀性。每个 $p_i$ 只需在自己的 $A_i$ 上有效，不要求它在别的分量原假设成立时也均匀。

与多重错误控制的逻辑分界

如果目标改成“只要某项拒绝，就宣布发现”，拒绝域变成 $\bigcup_iR_i$ 。包含关系的方向变了：一个真实分量的level控制不能再包住这个并集。比如两个独立均匀p值都在真原假设下，

P\{\min(p_1,p_2)<\alpha\} =1-(1-\alpha)^2>\alpha.

$\alpha=0.05$ 时是 $0.0975$ 。交并原理不取消族错误控制；它规定的是另一种总体声明。若运行许多IUT，再挑至少一个通过者报告，外层仍需处理多重性。

随机化也要规定怎么共同使用

若分量检验函数为 $\varphi_i(X)\in[0,1]$ ，可以定义 $\varphi(X)=\min_i\varphi_i(X)$ 。用同一个独立均匀随机数决定各分量是否拒绝，全部拒绝的条件概率正是这个最小值；因 $\varphi\le\varphi_i$ ，同一level证明成立。

若改用相互独立的随机币，全部拒绝的条件概率为 $\prod_i\varphi_i(X)$ ，仍不超过每个分量，但与最小值程序一般有不同功效。只给几项随机化概率而不交代联合随机机制，尚未指定唯一的总体程序。

例子与边界

两个二值检查，不要求它们独立

观察 $(X_1,X_2)\in\{0,1\}^2$ ，其边缘成功概率为 $p_1,p_2$ ，允许任何相容联合分布。要支持“两个边缘概率都大于 $1/4$ ”，原假设是

H_0:\ p_1\le1/4\ \text{或}\ p_2\le1/4.

每个分量在 $X_i=1$ 时拒绝，level为 $1/4$ ；总体只在 $(1,1)$ 时拒绝，故

P(X_1=X_2=1)\le\min(p_1,p_2)\le1/4

对整个总体原假设成立。取 $p_1=1/4,p_2=1$ ，总体拒绝概率恰为 $1/4$ ，所以这个模型类上的size确为 $1/4$ 。

若两个边缘都固定为 $1/4$ ，独立联合律的总体拒绝率为 $1/16$ ，完全共用一枚Bernoulli硬币时为 $1/4$ ，把两份成功放在互斥事件时为0。这些程序都满足相同level，依赖结构仍会显著改变具体拒绝概率。

size可以小于名义水平

把分量原假设设为相同的整个模型类，并在一个均匀变量 $U$ 上取 $R_1=\{U<\alpha\}$ 、 $R_2=\{U>1-\alpha\}$ ，其中 $0<\alpha<1/2$ 。各分量size都为 $\alpha$ ，交集却为空，总体size为0。原理给的是上界，不保证取得等号，也不保证任何备择上的功效。

对于有实际备择的离散例，双单侧等效性检验可在二项成功率上只拒绝一个中间计数。名义 $5\%$ 与该中间计数在两侧原假设下的最大概率可以严格不同，终点会把这两者分别算出。

删除失败分量会改变问题

若预先要求三个质量指标全部合格，看到第三项未通过后删掉它，再用前两项声明“全部合格”，拒绝事件已经改变。原证明需要至少一个真实的未满足要求仍在被检验列表中；事后删除它没有这个保证。可以明确报告较窄的新目标，但其选择过程需要重新校准。

相反，即使只有一项分量原假设为真，原来的交并保证仍成立。不能只在“所有分量都为真”的交集原假设上检查size，然后将结果扩大到式(1)的整个并集。

推论与应用

TOST把“参数在下界之上且在上界之下”写成两个必须同时满足的要求。更多预设端点都需等效时，可继续对其总体声明取交；两层交仍是对所有必要分量全部拒绝。

给定 $m$ 个已经校准的p值，计算式(4)需要 $O(m)$ 比较和 $O(1)$ 额外工作空间，若需要完整报告则另外保存 $m$ 项。原始数据到每个p值的计算、复合原假设上的最坏情形校准，不包含在这个简单比较成本里。

实际输出应记录每个分量假设、对应p值、边界约定和最后的总体声明。某一分量未通过，只表示当前规则没有证据支持所有要求共同满足；它不证明这一分量真实失败，更不把“未检出差异”改成“已经等效”。

参考资料

Roger L. Berger、Jason C. Hsu，Bioequivalence Trials, Intersection-Union Tests, and Equivalence Confidence Sets，Statistical Science11(4)，1996，pp.283–302，DOI。1995作者预印本§3 Theorems1–2、§4.1与§5.2说明IUT、size与等尾区间的责任。
George Casella、Roger L. Berger，Statistical Inference，第2版，2002，Ch.8，交并与并交检验。本文有限level与max-p结论直接由事件包含证明，随机化机制与二值依赖例在正文逐项给出。

形式陈述 ​

并起来的原假设，交起来的拒绝域 ​

p值接口 ​

证明只需找出一个真实分量 ​

与多重错误控制的逻辑分界 ​

随机化也要规定怎么共同使用 ​

两个二值检查，不要求它们独立 ​

size可以小于名义水平 ​

删除失败分量会改变问题 ​

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