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三种报告，三份不同的保证 ​

你收到几组实验报告。它们可能共享数据；除非条件卡明确给出，否则不要假定独立。任务是把每项证据变成一份可复算的最终报告，并指出哪些常见改动会使保证失效。

核心路线经过静态 e 值理路静态 e 值与期望证据e-value · e-variable · E-value · 期望证据以每个零假设分布下的均值不超过一校准非负证据，构造似然比及复合均值检验，并区分静态保证与可选停止。、可积校准理路p 值到 e 值的可积校准p-to-e calibration · p-to-e calibrator · p-to-e 校准函数用非负单调且积分不超过一的函数把超均匀 p 值转成 e 值，证明校准条件并检查调参、分段与数值边界。、合并理路e 值的平均、乘积与选择Merging e-values · e-merging function · Combining e-values按同一零假设核对每份证据，证明任意依赖下的固定平均与条件有效乘积，给出最大值、重复证据和数据依赖权重的反例。与分割似然比理路分割似然比与有限样本推断Split likelihood-ratio test · Universal inference · split LRT只用训练样本拟合比较密度，在独立检验样本上除以零假设的似然上确界，构造不依赖渐近卡方的检验并核对优化误差方向。。之后走两条出口：e-BH理路e-BH 与任意依赖的 FDR 控制e-BH procedure · e-Benjamini–Hochberg procedure · eBH按降序 e 值寻找最大自洽发现集合，用逐样本预算消去随机拒绝数，在任意依赖下控制 FDR，并核对过滤与停止的边界。和BY理路Benjamini–Yekutieli 调和修正Benjamini–Yekutieli procedure · BY procedure · Benjamini-Yekutieli correction对边缘有效且任意依赖的 p 值使用调和收缩阈值，以分段尾预算证明 FDR 控制，并由阶梯校准器连接 e-BH。控制发现集合的期望错误比例；闭合检验理路闭合检验原理Closed testing principle · Closed testing procedure · 闭合多重检验为每个交集零假设配备局部水平检验，只在所有上层交集都被拒绝后拒绝目标，以一个真零交集事件证明强族错误率控制。与同时 FDP 上界理路闭合检验的同时 FDP 上界Simultaneous FDP bounds · True discovery guarantee · Post hoc FDP bound保留闭合检验尚未排除的子集，以其最大大小约束任意事后报告集的错误发现数，并用同一个高概率事件证明全体集合同时有效。支持事后选择报告集。

条件卡A和C若使用乘积，需要先分清两种输入保证：相互独立要求零模型下的联合分布满足分解；顺序证据也可以改用给定全部历史的条件期望预算。每项单独均值不超过一，并不自动供应这两种乘积条件；固定平均则只需这份边际预算。

条件卡 A：同一个假设，三种分析 ​

三种预先固定的分析分别产生同一个零假设的 e 值 $12,3,0.3$，仅知道每个真零模型下各自均值不超过一。请计算等权合并，判断能否在 $\alpha =0.2$ 时拒绝，再判断直接相乘是否合法。

解答。 等权平均为 $5.1$，超过阈值五。期望线性性证明平均预算不超过一，不用独立；乘积 $10.8$ 只是算术结果，未提供独立或条件预算，不能据此宣布它有效。若事后只报告最大证据十二，须重新校准；通用的最大值除三得到四，尚未通过五。

将三种分析换成来自独立实验的 e 值后，乘积才可由期望乘积分解认证。独立条件必须在每个零模型下成立，不能由不同团队或不同文件名推断。

条件卡 B：五个不同的假设 ​

各假设证据为 $(30,18,17,2,0)$，真零对应的证据边缘有效，依赖任意。目标 $q=0.1$。

1. 写出全部 e-BH 阈值，给最终拒绝集合
2. 证明结论时逐份数据写出单个真零的 FDP 贡献上界
3. 如果事后删掉一项发现，原来的保证是否自动保留？

解答。 阈值为 $(50,25,50/3,12.5,10)$，最大通过秩是三，最终拒绝前三项。首次比较失败不能触发停止。对真零 $i$，若被拒绝便有 $E_i\ge m/(qR)$，所以

$$\frac{\mathbf{1}\{i\in \mathcal{R}\}}{R\vee 1}\le \frac{q}{m}{E}_i.$$

求和再取期望，得到 FDR 不超过 $q{m}_0/m$。缩小集合会提高其所需证据阈值，只有新集合仍满足 $E_i\ge m/(q|S|)$ 才能沿用这条证明；e-BH 页给出的三项分布会使过滤后的 FDR 从 $1/15$ 升到 $2/15$。

若输入改成四个有效 p 值 $(0.01,0.02,0.04,0.20)$，联合依赖仍任意，BY 在 $q=0.1$ 使用 $H_4=25/12$ 和阈值 $(0.012,0.024,0.036,0.048)$，拒绝前两项。直接运行普通 BH 会报三项，其任意依赖保证没有由条件卡提供。

条件卡 C：不知道哪项真，但要保留群体结论 ​

三项 e 值均为六。在每个交集零假设下，相关输入相互独立。用它们的乘积作为局部交集证据，在 $\alpha =0.05$ 执行闭合检验。

解答。 单项证据六没有通过二十，二项乘积三十六和三项乘积二百一十六均通过。所有二项交集也通过闭合，所有单项仍失败。任意非空报告集的最大未拒绝子集大小为一。因此报告三项时至少有两个真发现、FDP 上界为 $1/3$；报告任意两项时上界为 $1/2$；只报告某一项时上界为一。

这些结论同时在概率至少 $0.95$ 的事件上成立，允许看数据后选择报告集合。它们不识别哪两项是信号。如果删掉独立条件而保留乘积，取三个完全相同、以概率 $1/6$ 共同等于六的证据，就能让错误群体结论以概率 $1/6$ 出现，反驳 $0.05$ 保证。

分子与分母的额外检查 ​

训练组为 $1110$，拟合 Bernoulli 参数 $3/4$；独立检验组为 $1111$，零假设 $p\le 1/2$。分割似然比为 $81/16$。若优化器只找到一个零模型候选，它提供似然上确界的下界；拿这个下界作分母会放大证据，不能认证。需要精确最大值或经过证明的上界。

复算附件与验收口径 ​

下载纯 Python 核验脚本，运行后输出精确分数结果。脚本枚举三项闭合检验的全部128种局部判定表，逐一比较直接定义与子集递推；另检查512组含阈值边界的 p 值，验证 BY 与阶梯校准后 e-BH 的逐数据等价。

这份脚本验证算例与有限算法等价，不替代一般概率定理的证明。完成本单元应能同时交出：输入有效性的证据、最终决策规则、实际依赖条件、可复算数值，以及对选择、过滤或优化误差的边界判断。