分割似然比与有限样本推断

一条条件积分完成校准 ​

固定真实零参数 ${\theta }_{\ast }\in {\mathrm{\Theta }}_0$。分母不小于 $L_0({\theta }_{\ast })$，所以

条件于 $D_1$，$\hat{q}$ 已经固定，检验组仍为来自真模型的独立样本。于是由条件期望理路条件期望Conditional expectation以信息分组的加权平均建立条件期望直觉，再连接测度定义、最小均方预测、塔式性质和可计算反例。和密度积分，

去掉条件后得到 ${\mathbb{E}}_{{\theta }_{\ast }}E\le 1$。每个真零参数都能重复同一证明，故 $E$ 是整个复合零假设的e 值理路静态 e 值与期望证据e-value · e-variable · E-value · 期望证据以每个零假设分布下的均值不超过一校准非负证据，构造似然比及复合均值检验，并区分静态保证与可选停止。，在 $E\ge 1/\alpha$ 时拒绝可控制第一类错误。

这里不要求 Fisher 信息非退化，也不要求参数在模型内部；却仍要求独立拆分、正确零模型、归一化预测密度和合法分母。“通用”不表示数据来源与计算误差都可以不管。

八次硬币观测的完整计算 ​

取训练数据 $D_1=1110$，使用训练成功率 $\hat{q}=3/4$。检验数据为 $D_0=1111$，检验 $H_0:p\le 1/2$。检验组有四次成功，零模型内的似然 $p^4$ 在 $p=1/2$ 达到最大，因此

在 $\alpha =0.2$ 时阈值是五，得到拒绝；在 $\alpha =0.05$ 时阈值是二十，不能拒绝。这个证据完全由训练估计、检验数据与受限优化三个可复算步骤决定。

若检验组为 $1100$，受限 MLE 仍为 $1/2$，证据变为

若检验组只有一次成功，受限 MLE 为 $1/4$，不能仍机械地把 $1/2$ 填入分母。对 $s$ 次成功、$n$ 次检验，受限最大点为 $min(s/n,1/2)$；零次成功时用 $p=0$ 并按实际 Bernoulli 概率乘积计算。

为什么分母的优化误差方向很重要 ​

如果精确上确界难算，可以用经过证明的上界 $U(D_0)\ge \underset{{\mathrm{\Theta }}_0}{sup}{L}_0(\theta )$。把分母换成 $U$ 只会减小证据，所以仍有效，代价是功效变保守。

普通优化器找到一个零模型候选 $\tilde{\theta }$，通常只能保证 $L_0(\tilde{\theta })\le sup{L}_0$。把这个下界当分母会增大证据，方向相反，不能据“优化已经收敛得差不多”保持精确保证。需要上界证书，或保留明确的误差因子并作相应校准。

最小反例只需要一次公平硬币：不拆分而令 $\hat{q}=X$，观察正面便选择总出正面的模型，反面便选择总出反面的模型。分子恒为一，零似然为 $1/2$，因此 $E$ 恒为二，期望预算立刻失败。这解释了分子为何不能偷看检验资料。

交叉拆分和置信集合 ​

可以交换两组数据的角色，得到 $E_{0\leftarrow 1}$ 与 $E_{1\leftarrow 0}$，再取平均。两者共享全部数据，通常不独立，但e 值固定平均理路e 值的平均、乘积与选择Merging e-values · e-merging function · Combining e-values按同一零假设核对每份证据，证明任意依赖下的固定平均与条件有效乘积，给出最大值、重复证据和数据依赖权重的反例。不需要独立，因而平均仍有效。挑两者最大则需要额外校准。

若要估计整个参数，针对每个候选 $\theta$ 定义

对真参数只需一次均值论证，得到 $P_{{\theta }_{\ast }}({\theta }_{\ast }\in C_{\alpha })\ge 1-\alpha$。这正是检验反演理路置信集合与检验的对偶Confidence set and test duality · Test inversion逐参数反演 level 检验得到覆盖置信集合，并由置信集合反构造点零假设检验。。由于本页用大于等于阈值拒绝，保留集使用严格小于；改变端点约定时要同步改变检验规则。接受集合不保证是区间、连通或非空。

实现成本与输出 ​

单次执行包含训练算法成本、$n$ 次预测密度评价以及零模型似然上界的计算成本。Bernoulli 例可由一次计数完成，时间 $O(n+n_1)$、额外空间 $O(1)$；一般高维模型的受限优化可能是主要瓶颈，不能统称线性时间。

实际应累计对数密度，将 $\log Q_1-\log U$ 与 $\log \left(1/\alpha \right)$ 比较，并输出拆分索引或可重现随机种子、训练密度、分母证书、阈值与决定。若训练密度在未来样本点为零，证据为零，这会损失功效却不损坏有效性。

迁移自测。 用独立训练资料拟合一个复杂混合密度，检验样本用于测试单一正态零模型。只要能给零模型最大似然的上界，有限样本证明仍适用；若所有数据都来自同一条有依赖时间序列，普通索引拆分不保证两组独立，本文的条件积分需重新建立。