e-BH 与任意依赖的 FDR 控制

把随机分母从证明里消掉 ​

设输出集合为 $\mathcal{R}$，$R=|\mathcal{R}|$，$V=|\mathcal{R}\cap I_0|$。FDR理路错误发现率与 Benjamini–HochbergFalse discovery rate · Benjamini–Hochberg procedure · FDR控制错误拒绝占全部拒绝比例期望的多重检验准则与步升程序。 是

只要 $i$ 被拒绝，就有 $E_i\ge m/(qR)$。因此对每个真零索引，逐份数据都有

未拒绝时左侧是零，拒绝时第一步正是阈值条件，所以随机 $R$ 没有被偷偷当成常数。对全部 $i\in I_0$ 相加、取期望，得到

这个证明不拆解联合概率、不条件于其他证据，也不假定独立或正相关。任意依赖的结论来自“每个真零单独付得起自己的预算”，而非依赖性从数据中消失了。

五项证据的最大通过秩 ​

开头例的阈值为 $(50,25,50/3,12.5,10)$。第一、二项都没有通过各自阈值，第三项 $17\ge 50/3$ 却通过，最后两项失败，所以拒绝前三项。最终三项共同使用阈值 $50/3$，全部满足要求。

如果临界位置有并列，不会发生任意拆开一个临界并列组的问题：若第 $k+1$ 项与已通过的第 $k$ 项相等，它面对的阈值更低，也必通过。实现可以用稳定排序保留索引，再按最大通过秩返回。

过滤发现集可以真的破坏 FDR ​

取 $m=3,q=0.1$，前两个零假设为真，第三个为假。让 $(E_1,E_2)$ 以各 $1/15$ 的概率取 $(15,0)$、$(0,15)$，其余取 $(0,0)$；令 $E_3=30$ 恒定。两个真零证据的边际均值都恰为一。

有活动真零证据时，排序为 $(30,15,0)$，e-BH 拒绝前两项，FDP 为 $1/2$；无活动时只拒绝第三项，FDP 为零。因此 FDR 为

如果发表时只保留编号一、二，删除第三项，输出就以概率 $2/15$ 含一个错误发现，其余为空。FDR 上升到 $2/15>0.1$。新的单项集合要求证据至少三十，活动真零只有十五，正好违反自洽性。

这也是为什么“删掉一些发现总会更保守”不适用于错误比例：删除的可能是真发现，分母下降得比错误数更快。若希望任意事后选择集合并获得高概率比例上界，应使用同时 FDP 保证理路闭合检验的同时 FDP 上界Simultaneous FDP bounds · True discovery guarantee · Post hoc FDP bound保留闭合检验尚未排除的子集，以其最大大小约束任意事后报告集的错误发现数，并用同一个高概率事件证明全体集合同时有效。。

自洽性还容许额外选择约束 ​

上面的证明只用到：若 $i\in S$，则 $E_i\ge m/(q|S|)$。任何可测选择规则，只要输出 $S$ 满足这条自洽性，都继承同样的 FDR 上界。于是可以在自洽集合中加入空间连通、成本上限等选择偏好；如何有效寻找集合是另一个计算问题。

e-BH 是没有额外限制时最大的自洽集合。若一个集合 $S$ 有 $r$ 项，每项至少 $m/(qr)$，则降序第 $r$ 项也达到这个阈值，所以 $r\le k_{\ast }$。而 $S$ 的每项达到 $m/(qr)\ge m/(q{k}_{\ast })$，必属于 e-BH 的阈值集合。

这是保留完整家族大小 $m$ 的结论。筛完再把分母中的 $m$ 换成保留数量，或缩小集合后沿用较宽的旧阈值，都需要新的校准。

固定 e 值、过程与拒绝记录 ​

可以让每个输入来自一个合法 e-process 在同一有限停时的值，但该过程必须对包含全部相关信息的共同滤过保持停时有效性。仅对自己一条数据流有效，而停止规则还观察别的相关数据，不自动满足条件。

更重要的是，本页控制的是一次输出集合的 FDR。每天运行一次、把历次所有拒绝并在一起，不是本页证明的同一个集合；即使每次输入都合法，也没有自动得到“曾经拒绝过”的 FDR 保证。运行最大 e 值一般也不再满足均值一预算。

成本、转换与验证 ​

标准实现排序需要 $O(m\log m)$ 时间，扫描 $O(m)$，保存证据和原索引需要 $O(m)$ 空间。若证据以对数存储，可比较 $\log e_{[k]}\ge \log m-\log q-\log k$，避免大数溢出；零证据的对数记为负无穷。

先用预定校准器理路p 值到 e 值的可积校准p-to-e calibration · p-to-e calibrator · p-to-e 校准函数用非负单调且积分不超过一的函数把超均匀 p 值转成 e 值，证明校准条件并检查调参、分段与数值边界。把 p 值转为 e 值，再运行本程序也有效。反过来，形式上对 $p_i=min(1,1/E_i)$ 应用 BH，会得到相同拒绝集，但其任意依赖保证来自 e 值的额外期望结构；不能据此断言普通任意依赖 p 值也无需修正。

迁移自测。 把开头第三项由十七改成十六，前三个秩都失败，第四、五个秩也失败，所以发现数从三变成零。若把第三项提高到十八，则仍为三。这个跳变来自共同阈值的自洽条件，说明审计应保留全部比较值，而不是只报告前三项。