p 值到 e 值的可积校准

为什么超均匀性足够 ​

固定 $t\ge 0$。因为 $f$ 非增，集合 $\{u:f(u)>t\}$ 是从零开始的一段区间，端点可能包含也可能不包含。记它的长度为 $a_t$。超均匀性在两种端点约定下都给出

对严格区间可用 $\text{Pr}(P<a_t)\le a_t$，对闭区间则用 $\text{Pr}(P\le a_t)\le a_t$。非负随机变量的期望理路期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。可按尾部面积计算，于是给

最后一步只是把曲线下面积按竖条或横条计算两次；非负性允许积分交换。因此不需要 p 值连续，也不需要它精确均匀，离散检验产生的保守 p 值同样适用。

两种能完整算出的校准器 ​

固定阈值投注。 在看数据前给定 $0<a<1$，令

曲线高度是 $1/a$、宽度是 $a$，积分等于一。它把原先水平 $a$ 的检验压缩成“通过则获得 $1/a$，否则零”。例如 $a=0.05$ 时，$p=0.03$ 和 $p=0.001$ 都给二十；它保留该阈值上的决定，舍弃阈值以内证据强弱的区分。

幂校准。 预先固定 $0<\kappa <1$，令

积分为 $[p^{\kappa }{]}_0^1=1$。取 $\kappa =1/2$，得到 $f(p)=1/(2\sqrt{p})$。当 $p$ 为 $0.04,0.01,0.0004$ 时，证据分别为 $2.5,5,25$。在 $\alpha =0.05$ 的 e 检验下，要求 $p\le {\alpha }^2/4=0.000625$。这个门槛比普通 $p\le 0.05$ 严格，提醒我们：通用转换会丢失一些针对单一显著性水平的信息，并不是免费增强证据。

三个看似自然却无效的替换 ​

直接取 $f(p)=1/p$ 不可行，因为 ${\int }_0^{1}du/u=\mathrm{\infty }$。把它乘任意固定正常数仍然不能补救无穷面积。

只要求积分而去掉单调性也不行。取 $f(p)=2\mathbf{1}\{p>1/2\}$，积分为一，但常数 p 值 $P=1$ 完全有效，却给 $f(P)=2$。保守 p 值可能把质量向右搬；非增性正是保证这种移动不会提高平均费用的条件。

在看见 $p$ 后挑最合适的校准器也会破坏证明。考虑两个各自合法的函数：$f_1(p)=2\mathbf{1}\{p\le 1/2\}$ 和 $f_2(p)=1$。逐数据取最大后，在前半区间为二、后半为一，积分成为 $3/2$。原先每个函数各有一元预算，不意味着二选一可以再共用同一元。

想兼顾多种尺度，可以预先混合 ​

若 $f_1,\dots ,f_K$ 都是校准器，预先固定权重 $w_k\ge 0$、$\sum _k{w}_k=1$，则

仍非增，且积分不超过一。例如把上面的两个函数各取一半，得到前半区间 $1.5$、后半 $0.5$，总面积仍是一。权重可以由独立训练资料确定，只要条件于那份资料后，当前 p 值仍超均匀；“训练资料存在”本身不够，必须检查条件有效性。

若函数分 $K$ 段给出，可先用“区间宽度乘高度”核对面积。对大量 p 值，先排序断点，逐项二分查找的成本为 $O(\log K)$；单一幂函数只需常数次算术。极小 p 值适合算 $\log E=\log \kappa +(\kappa -1)\log p$。软件显示的数值零可能只是下溢，不能自动当成数学上的 $p=0$。

从转换到发现程序 ​

校准逐项有效 p 值不要求它们相互独立，因而得到的一组 e 值可以进入e-BH理路e-BH 与任意依赖的 FDR 控制e-BH procedure · e-Benjamini–Hochberg procedure · eBH按降序 e 值寻找最大自洽发现集合，用逐样本预算消去随机拒绝数，在任意依赖下控制 FDR，并核对过滤与停止的边界。。若只是为同一个零假设汇总多种分析，则用固定权重平均理路e 值的平均、乘积与选择Merging e-values · e-merging function · Combining e-values按同一零假设核对每份证据，证明任意依赖下的固定平均与条件有效乘积，给出最大值、重复证据和数据依赖权重的反例。。这两种操作回答不同问题：前者发现哪些假设可拒绝，后者给一个假设形成一份证据。

自测。 固定 $f(p)=4\mathbf{1}\{p\le 1/4\}$，将它再转成 $min(1,1/f(P))$。输出只有 $1/4$ 和一，不会恢复原来的 p 值。解释这一信息损失，比背下互取倒数的口号更有用。