静态 e 值与期望证据

似然比为什么符合预算 ​

简单零假设有密度 $p$，事先选定比较密度 $q$，二者相对于同一参考测度。取似然比理路似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。

在 $p=0<q$ 处设为无穷大，在 $p=q=0$ 处设为零。这些取值不影响零模型下的积分：

若比较分布没有跑到零分布支撑之外，等号成立。这个证明只用密度积分，不需要大样本极限、正态近似或可微参数模型。对 $n$ 个独立观测，联合密度之比就是逐点比值的乘积。

硬币例中，设 $S$ 为正面次数，在公平零模型下

当 $\alpha =0.2$ 时阈值为五，只有四个正面越界，错误率为 $1/16\le 0.2$。预算可以保守；Markov 阈值不承诺用尽全部允许错误概率。

复合均值零假设的直接构造 ​

设只知道 $X\in [0,1]$，检验 ${\mathbb{E}}_{P}X\le 1/2$。这个零假设允许离散、连续和混合分布。定义

范围保证 $E\ge 1-\lambda /2\ge 0$，均值条件保证 ${\mathbb{E}}_{P}E\le 1$。取 $\lambda =2$ 时就是 $E=2X$。这里只有一个有界观测，所以证据最多为二，不可能达到 $5\mathrm{\%}$ 检验的二十倍阈值。有效性和有足够功效是两件需要分别检查的事。

若错误允许 $\lambda <0$，零假设内的常数 $X=0$ 会给 $E>1$；若允许 $\lambda >2$，$X=0$ 时证据为负。两个方向的限制分别承担均值预算与非负性，不能省略。

选择和停止为什么需要另一个接口 ​

两个合法证据取最大值通常失效。令公平二元结果 $X$ 取零或一，构造 $E_1=2X$、$E_2=2(1-X)$。它们的均值都是一，最大值却恒为二。先看结果再选“最支持结论的那个分析”，把均值预算翻了一倍。固定平均 $(E_1+E_2)/2=1$ 则仍有效。

把同一个证据重复相乘也不能假装收到了新数据。若 $E=2X$，则 $\mathbb{E}{E}^2=2$，虽然每个副本单独都是 e 值。e 值合并理路e 值的平均、乘积与选择Merging e-values · e-merging function · Combining e-values按同一零假设核对每份证据，证明任意依赖下的固定平均与条件有效乘积，给出最大值、重复证据和数据依赖权重的反例。会逐一说明什么时候可以平均或相乘。

静态定义也不准许任意停止后读取。让 $E_t$ 每次独立等概率取零或二，每个固定时刻都有均值一，但等到第一次出现二再报告，得到的证据恒为二。e-process理路检验鞅与 e-processTest martingale · Test supermartingale · e-process · 检验上鞅区分固定时刻的 e 值与可在停时读取的证据过程，并用非负检验上鞅构造随时有效检验。对合法停时直接要求均值预算，承担的是更强的保证；这个序贯概念需要滤过和停时，本页的固定样本结论不以那些概念为前置。

怎样交付一份可检查的证据 ​

计算前写下零模型、样本规则和证据函数；计算后报告观察到的值、使用的阈值以及上述均值证明。联合密度比常用对数计算：将各项 $\log q(X_i)-\log p(X_i)$ 相加，再与 $\log \left(1/\alpha \right)$ 比较，避免连乘下溢。计算 $n$ 项需要 $O(n)$ 次密度评价和 $O(1)$ 累积空间，密度评价本身的费用另计。

要把有限样本 e 值用于多假设发现，可读e-BH理路e-BH 与任意依赖的 FDR 控制e-BH procedure · e-Benjamini–Hochberg procedure · eBH按降序 e 值寻找最大自洽发现集合，用逐样本预算消去随机拒绝数，在任意依赖下控制 FDR，并核对过滤与停止的边界。；要让比较密度由数据学习，可读分割似然比理路分割似然比与有限样本推断Split likelihood-ratio test · Universal inference · split LRT只用训练样本拟合比较密度，在独立检验样本上除以零假设的似然上确界，构造不依赖渐近卡方的检验并核对优化误差方向。。这两条后继分别改变决策规则和证据构造，均保留“每个真零模型下均值不超过一”这个接口。

自测。 令 $E$ 以概率 $1/30$ 取三十，其余取零。它的均值是一。在水平 $0.05$ 时错误率为 $1/30$；若把每个输出都乘二，均值成为二，新统计量就不再是原定义下的 e 值。观察到六十本身无法修复校准。