检验鞅与 e-process

e 值像一次下注后的财富，零模型下平均不超过一元。e-process 的承诺更强：读者可以根据已经看到的历史决定何时结算，平均预算仍不超过一元。检验上鞅通过每一步都遵守预算实现这一承诺，e-process 则直接要求所有合法结算规则都有效。

较大的财富表示零模型很难经常支付这样的回报。它不是零假设的后验概率，也不是把普通 p 值重新命名。一个 e 值等于 $20$，通过 Markov 界给出相应拒绝规则的错误上限 $1/20$；它不表示零假设有 $5\mathrm{\%}$ 的概率为真。

从条件公平到可预测投注 ​

检验 $H_0:p=p_0$，其中 $0<p_0<1$，并假设给定 ${\mathcal{F}}_{t-1}$ 后 $X_t$ 服从 Bernoulli$(p_0)$。在看见 $X_t$ 之前选择 ${\mathcal{F}}_{t-1}$ 可测的 $q_t\in [0,1]$，定义

这是按历史选择备择成功率后得到的条件似然比公理库似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。。由于

乘上已知的 $M_{t-1}$ 就证明了鞅性质。$q_t$ 可以随过去变化，但不能取看见当前结果才确定的 $q_t=X_t$；后者让单步因子的条件期望变成 $2$。分段写法也明确允许 $q_t=0$ 或 $1$，无需给 $0^0$ 另作约定。

一条会回落的证据路径 ​

取 $p_0=1/2$、始终 $q_t=3/4$。成功乘 $1.5$，失败乘 $0.5$。对数据 $1,1,1,1,0$，财富为

设 $\alpha =0.2$，阈值为 $5$。第四次观测触发拒绝；第五次的回落不撤销“曾经越界”的事实。预先定义的拒绝事件是整条路径是否越界，而不是最后一次显示的财富是否仍然足够高。

两个不能混淆的反例 ​

令 $Y_t$ 独立地以各一半概率取 $0$ 或 $2$。每个固定时刻 $Y_t$ 都是 e 值；然而首次出现 $2$ 的停时几乎必然有限，在该时刻读到的值恒为 $2$。所以这串 e 值不是 e-process，其最终越过 $2$ 的概率为一。

反过来，确定性过程 $E_0=1,E_1=0,E_t=1$（$t\ge 2$）在每个停时的取值都不超过一，因而是 e-process，但从第一步到第二步条件均值从零升到一，不是上鞅。它说明检验上鞅是易于验证的结构条件，而非 e-process 的另一种名称。

复合均值零假设 ​

设零假设包含所有满足 $X_t\in [0,1]$ 和 $\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_{t-1}]\le p_0$ 的过程，其中 $0<p_0<1$。对可预测的 ${\lambda }_t\in [0,1/p_0]$，取

下界 $B_t\ge 1-{\lambda }_t{p}_0\ge 0$，且条件均值不超过一，所以乘积给出在整个复合零假设下共同有效的检验上鞅。若允许负 ${\lambda }_t$，条件均值的不等号会反向，原来的单侧零假设就不够用了。

把一串 e 值连乘时，真正需要检查的是每个新因子给定历史的条件均值预算。若在每个零假设分布下，新因子都独立于当前历史，其条件均值就等于不超过一的边际均值；相互独立的 e 值配合由已观察因子生成的自然滤过，是满足这一要求的例子。若历史还包含其他信息，则仍须相对于这份完整历史检查条件预算，不能只凭因子之间相互独立便下结论。各自边际均值不超过一而可能依赖时，也不能直接连乘；用同一数据重复计算几个 e 值尤其如此。

Ville 不等式公理库Ville 不等式Ville's inequality · Ville inequality非负上鞅在无限时间内达到给定水平的概率，由初始期望除以该水平控制。给检验上鞅以无限时间越界界。对一般 e-process，同样令 $\tau$ 为首次达到 $1/\alpha$ 的时刻；在有界停时 $\tau \wedge N$ 上，

令 $N\to \mathrm{\infty }$ 即得对每个 $P\in {\mathcal{H}}_0$ 都有 $P(\mathrm{\exists }t:E_t\ge 1/\alpha )\le \alpha$。因此

是随时有效的 p 值公理库p 值p-value在零假设下校准的证据统计量，其小值事件的概率不超过对应阈值。过程（最大值为零时把倒数视为无穷大）。它记录历史最强证据；运行最大值本身通常不是 e-process，因为它保留收益而抹去亏损，未必还有均值一的预算。

混合序贯边界公理库混合序贯边界Mixture boundary · Method of mixtures · Normal mixture boundary对指数上鞅作预先固定的概率混合，再把财富阈值反解为对所有时间同时有效的偏差边界。把许多合法策略按固定概率权重平均，得到无需预先押中单一备择的新过程。对每个候选参数分别构造这样的证据，再保留尚未被拒绝的候选值，就得到置信序列公理库置信序列Confidence sequence · Anytime-valid confidence sequence · 时间一致置信序列一列随数据更新的随机置信集合，以规定概率在所有时间同时覆盖同一个固定参数目标。。这一步把证据过程转成整条时间轴上的参数不确定性。