置信序列

每天打开一次试验仪表盘，与事先只约定第一百天查看，是不同的统计程序。每天都有一次犯错机会，逐日各有 $95\mathrm{\%}$ 覆盖，并不能推出整段试验以 $95\mathrm{\%}$ 概率从未漏掉真值。

置信序列先控制“至少有一天漏掉”的总概率。于是，在同一个覆盖事件上，无论在哪天读数，读到的集合都包含真值；根据历史决定停止也被这一事件保护，甚至事后选择一个已观测时刻仍不会破坏该事件。受保护的是按既定合法模型和公式产生的整列集合，不是事后换模型、换目标或挑一种最窄方法的自由。

反演路径级检验 ​

对每个候选目标值 $m$，构造在复合零假设 $g(\theta )=m$ 下有效的e-process公理库检验鞅与 e-processTest martingale · Test supermartingale · e-process · 检验上鞅区分固定时刻的 e 值与可在停时读取的证据过程，并用非负检验上鞅构造随时有效检验。 $E_t(m)$，并规定达到 $1/\alpha$ 就拒绝。定义

固定真实分布 $P_{\theta }$，只有对应真实目标的过程需要控制：

Ville 界及其 e-process 版本公理库Ville 不等式Ville's inequality · Ville inequality非负上鞅在无限时间内达到给定水平的概率，由初始期望除以该水平控制。使右边的概率不超过 $\alpha$，便证明了同时覆盖。这是置信集合—检验对偶公理库置信集合与检验的对偶Confidence set and test duality · Test inversion逐参数反演 level 检验得到覆盖置信集合，并由置信集合反构造点零假设检验。的路径版本；无需对连续的所有候选 $m$ 使用并集界，因为在一个固定真实分布下，漏覆盖只涉及一个固定真值。

$C_t$ 不必逐步嵌套：一个候选值今天被排除，明天证据回落后可能重新出现。若希望排除永久有效，可以输出 ${\tilde{C}}_t=\bigcap _{s\le t}{C}_s$。在原来的全时间覆盖事件上，真实参数属于每个交集，所以嵌套化保留同样的覆盖保证。

从有界观测构造一列可计算区间 ​

假设 $X_t\in [0,1]$ 且 $\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_{t-1}]=p$，其中 $p$ 固定。高斯混合边界公理库混合序贯边界Mixture boundary · Method of mixtures · Normal mixture boundary对指数上鞅作预先固定的概率混合，再把财富阈值反解为对所有时间同时有效的偏差边界。在预先固定的 $\rho >0$ 下给出

严格按“证据大于等于阈值就拒绝”反演会得到严格不等式定义的集合。这里把两端补入成为闭区间，只会增大集合，覆盖下界因此仍成立；不能把这两个端点约定说成完全相同的反演。

取 $\alpha =0.05,\rho =1$。十次中八次成功时，$r_{10}=0.50353546$，区间为 $[0.29646454,1]$。一百次中六十五次成功时，$r_{100}=0.15507694$，区间约为 $[0.49492306,0.80507694]$，仍包含 $p=0.5$。

图中采用数据块 $1111111100$、$1010101010$，随后重复八次 $1111000000$，展示 $t=10,20,40,60,80,100$ 的区间。它们由同一公式算出，图中真值参考线为 $p=0.5$。这是一条可能的数据路径，并非模拟覆盖率估计；这条路径上的所有图示区间都覆盖 $0.5$，不表示置信序列在每条路径上都会覆盖。

Bernoulli 模型下的 Beta 混合反演 ​

若进一步采用 IID Bernoulli$(p)$ 模型，先对 $0<p<1$ 考虑固定 Beta$(1,1)$ 混合。在前 $t$ 次有 $s$ 次成功时，证据为

十次中八次成功给出 $E_{10}(p)=1/[495p^8(1-p{)}^2]$。在 $\alpha =0.05$ 下保留 $E_{10}(p)<20$，等价于

左边在 $(0,0.8)$ 上递增、$(0.8,1)$ 上递减，分别二分求根可得开区间

例如 $E_{10}(0.5)\approx 2.06868687<20$，所以保留 $0.5$；$E_{10}(0.2)\approx 1233.03346>20$，所以排除 $0.2$。在这个具体样本上，它比上面的有界均值区间窄；这一比较并未证明所有时间、所有样本路径上都更窄。

参数端点可按退化 Bernoulli 分布单独扩展：$p=0$ 在全为零时保留，一旦出现一就排除；$p=1$ 同理。这样明确处理端点，不需要让主公式中的 $0^0$ 承担未说明的约定。

固定目标、停止时间与预测覆盖 ​

如果条件均值随时间漂移，就不存在本构造要求的同一个 $p$；将所有数据围绕单一真值中心化的步骤已失效。置信序列本身也不保证宽度实用、停止时间有限或检验功效高。对于偶然落在失败事件上的路径，某些乃至许多区间仍可能漏掉真值。

这里覆盖的是固定参数，分割共形预测公理库分割共形预测Split conformal prediction · 分割保形预测用独立于拟合过程的校准分数秩构造预测集合，在可交换性下保证新响应的有限样本边际覆盖。覆盖的是未来随机响应。单次边际预测覆盖既不是参数的全时间覆盖，也不能直接升级为所有未来响应同时被包含。

在UCB公理库UCB 算法UCB1 · upper confidence bound algorithm在有界随机多臂赌博机中选择经验均值加置信半径最大的手臂。或最佳臂识别公理库最佳臂识别best-arm identification · pure exploration以可靠选出最高均值臂为目标，研究纯探索的停止规则与样本复杂度。中，可按每个臂自己的观测顺序建立合法置信序列，再于随机臂内样本数读取它。若需要所有 $K$ 个臂同时有效，还须在臂维度分配错误预算，例如取 ${\alpha }_i=\alpha /K$ 并使用并集界。时间维度已经受控，不意味着多臂维度也自动受控。

最佳臂识别可在某个臂的下端点高于其余全部上端点时停止：只要所有臂的全时间覆盖事件成立，这个决定就正确。是否最终分离、平均等待多久，则需均值间隙、抽样安排和区间收缩速度的进一步分析。

自测：相同数据，不同量词 ​

对一百次中六十五次成功，固定样本 Hoeffding 区间的半径为

比本页置信序列的 $0.15507694$ 小。前者控制预先固定时刻的一次偏差，后者控制无限多个时刻的联合偏差。不能因为两种区间都标有 $95\mathrm{\%}$，就把前者沿所有 $t$ 重复使用并保留后者的承诺。另一种构造方式是给每个固定时刻分配可求和的 ${\alpha }_t$，使 $\sum _t{\alpha }_t\le \alpha$；这也产生置信序列，说明混合方法是有效构造之一，而非定义本身。