混合序贯边界

固定 $\lambda$ 相当于预先选择一种下注力度。小 $\lambda$ 倾向捕捉长时间累积的小偏差，大 $\lambda$ 更关注短期大偏差。若看完数据再挑表现最好的力度，赢家财富会受到选择偏差；混合方法则在开始时把一元本钱按概率权重分给所有力度，让总财富仍有一元的预算。

双侧高斯混合同时给正、负 $\lambda$ 分配权重。正偏差使正 $\lambda$ 的策略赚钱，负偏差使负 $\lambda$ 的策略赚钱；因此同一个财富门槛已经控制两侧合在一起的错误，不需要再把本页公式中的 $\alpha$ 换成 $\alpha /2$。

为什么积分仍是合法证据 ​

非负性允许用Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。及其条件期望形式交换积分：

每个固定时刻的期望至多为一，也保证混合量几乎必然有限。它的初值为 $\pi (\mathbb{R})=1$，所以是检验上鞅。

把正态密度代入后，指数为

完成平方并积分，得到形式陈述中的闭式。再对 $M_t\ge 1/\alpha$ 取对数并移项：

这恰为 $|S_t|\ge u_{\alpha }(V_t)$。最后应用 Ville 不等式公理库Ville 不等式Ville's inequality · Ville inequality非负上鞅在无限时间内达到给定水平的概率，由初始期望除以该水平控制。，就把同一个财富预算转成整条路径的边界保证。

有界观测的实际尺度 ​

设 $X_t\in [0,1]$ 且 $\mathbb{E}[X_t\mid {\mathcal{F}}_{t-1}]=p$。条件 Hoeffding 引理对 $D_t=X_t-p$ 给出 $v_t=1/4$，因此 $V_t=t/4$。取 $\alpha =0.05$、$\rho =1$：

第一行半径很大，反映小样本下全时间保证可能相当保守。这里无需观测独立同分布，只需所写的条件均值与有界性；也不能把 $t/4$ 解读为已经测得的累计真实方差。

Bernoulli 的 Beta 混合 ​

若模型明确为 IID Bernoulli$(p_0)$，$0<p_0<1$，可以直接混合似然比。设前 $t$ 次有 $s$ 次成功，对备择成功率 $q$ 使用预先固定的 Beta$(a,b)$ 权重，其中 $a,b>0$，并定义

积分得到

每个 $q$ 对应合法似然比鞅，所以这个概率混合也合法。对 $a=b=1,p_0=1/2$，若前 $t$ 次全成功，则 $B(t+1,1)=1/(t+1)$，从而 $M_t=2^t/(t+1)$。第四次财富为 $16/5=3.2$，第五次为 $32/6=16/3$；阈值为 $5$ 时，第五次才拒绝。

为比较两种策略，把它们都放在全成功路径 $1,1,1,1,1$ 上：检验鞅例子公理库检验鞅与 e-processTest martingale · Test supermartingale · e-process · 检验上鞅区分固定时刻的 e 值与可在停时读取的证据过程，并用非负检验上鞅构造随时有效检验。中的固定 $q=3/4$ 策略在第四次越界，Beta 混合在第五次越界，晚了一次，但它事先没有把全部预算押在某一个备择上。被链接例子实际展示的是 $1,1,1,1,0$；若采用那条路径，Beta 混合第五次的财富为 $16/15$，不会达到阈值 $5$。

这种混合的任务是平均检验证据以保存预算，与有限混合模型中的潜在类别建模、EM 的似然优化不同。

调参、尾部与增长率 ​

$\rho$ 决定预算在不同力度之间怎样分配，必须在观察这批数据前固定。看完数据挑最好的 $\rho$，或直接使用 $\underset{\lambda }{sup}{L}_t(\lambda )$，都不是上述概率积分；要获得有效性，必须另行校准选择。总质量无限的非正常先验也不能当作初值一的普通混合。

本页要求所有实数 $\lambda$ 的条件指数矩界。只有有限方差的重尾观测通常不满足它；仅混合 $\lambda \ge 0$ 时，高斯积分闭式也会改变。本页的高斯混合边界在固定 $\rho$ 后按 $O(\sqrt{v\log v})$ 增长，并非迭代对数尺度 $O(\sqrt{v\log \log v})$ 的最优边界。

将有界观测例中的 $S_t=t({\overline{X}}_t-p)$ 代回边界，对 $p$ 反解就得到置信序列公理库置信序列Confidence sequence · Anytime-valid confidence sequence · 时间一致置信序列一列随数据更新的随机置信集合，以规定概率在所有时间同时覆盖同一个固定参数目标。。这让同一批不断增长的数据可以持续显示有覆盖保证的均值区间。

Chernoff 方法公理库Chernoff 方法与 Chernoff 界Chernoff method · Chernoff bounds从指数矩与 Markov 不等式推导尾界，给出独立 Bernoulli 和的乘法形式、KL 形式及适用条件。在固定时刻优化指数参数，常得到更短的当时尾界；混合方法为整条时间轴保存一个共同的证据预算，解决的是不同的量词要求。作为e-process公理库检验鞅与 e-processTest martingale · Test supermartingale · e-process · 检验上鞅区分固定时刻的 e 值与可在停时读取的证据过程，并用非负检验上鞅构造随时有效检验。的构造，混合还可以用于不同预测策略之间的证据分配，但每个被混合策略自身必须先在同一零假设下有效。