Ville 不等式 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(M_t,\mathcal F_t)_{t\ge0}$ 是离散时间非负上鞅：每个 $M_t$ 可积且适应于 $\mathcal F_t$ ，并且

\mathbb E[M_{t+1}\mid\mathcal F_t]\le M_t.

对任意 $a>0$ ，Ville 不等式断言

\mathbb P\left(\sup_{t\ge0}M_t\ge a\right) \le\frac{\mathbb E M_0}{a}.

特别地，若 $\mathbb E M_0\le1$ ，则对 $0<\alpha<1$ ，

\mathbb P\left(\exists t\ge0:M_t\ge\frac1\alpha\right)\le\alpha.

这里的概率控制整条无限路径，而非预先选定的某一个时间。 $M_0$ 可以随机；初值预算始终是它的期望。定理不要求增量独立、观测同分布或过程一致可积。

直觉

把 $M_t$ 看成从一份有限本钱开始、不能借债的财富。在零模型成立时，无论过去发生过什么，下一步的条件平均财富都不会增加。少数路径当然可以赚得很多，但“曾经赚到 $a$ ”的所有路径合起来，不能拥有超过初始预算的概率质量。

关键是达到目标后就冻结财富。这样，后来从高点跌落的路径也会被计入；未达到目标的路径因为财富非负，无法用负债抵消已经达到目标的财富。正是这个非负条件，使一次预算足以约束无限次查看。

令

\tau_a=\inf\{t\ge0:M_t\ge a\},

没有命中时取 $\infty$ 。由于 $M_t$ 适应， $\tau_a$ 是停时。对确定的有限 $N$ ， $\tau_a\wedge N$ 是有界停时；可选停止定理的有界版本给出

\mathbb E M_{\tau_a\wedge N}\le\mathbb E M_0.

在 $\{\tau_a\le N\}$ 上，停止财富至少为 $a$ ；在其补集上仍非负。因此

a\,\mathbb P(\tau_a\le N) \le\mathbb E M_{\tau_a\wedge N} \le\mathbb E M_0.

令 $N\to\infty$ ，只对递增的命中事件取概率极限，就得到 $\mathbb P(\exists t:M_t\ge a)\le\mathbb E M_0/a$ 。这个步骤没有交换随机财富的极限与期望，也没有假设 $\tau_a$ 几乎必然有限。

还需处理定理中的上确界：一列数可以从下方趋近 $a$ ，却从未达到 $a$ 。对任意 $0<\varepsilon<a$ ，

\{\sup_t M_t\ge a\}\subseteq\{\exists t:M_t\ge a-\varepsilon\}.

对右边使用刚证明的命中界，再令 $\varepsilon\downarrow0$ ，便得到包含等号的上确界版本。

例子与边界

独立抛公平硬币，令 $M_0=1$ ，并令

M_t=2^t\mathbf1_{\{\text{前 }t\text{ 次全部为正面}\}}.

尚未出现反面时，下一步财富以各一半概率翻倍或归零，条件平均恰等于当前财富；归零后一直为零，所以它是非负鞅。

阈值为 $8$ 时，越界恰好发生于前三次全正面的路径，概率为 $2^{-3}=1/8$ ，达到 Ville 界。阈值改成 $5$ 时，过程仍只能在第三次从 $4$ 跳到 $8$ ；越界概率仍为 $1/8$ ，小于上界 $1/5$ 。不等式计的是“至少达到门槛”的成本，实际越过更多时会留下松弛。

这个过程的路径最大值可以有很大的期望，Doob 最大不等式中的同一硬币例具体说明了为什么尾概率控制不等于强 $L^1$ 最大值控制。

仅有每个固定时刻 $\mathbb E M_t\le1$ 不够。若 $M_t$ 独立地以各一半概率取 $0$ 或 $2$ ，每次均值都是一，最终至少一次达到 $2$ 的概率却是一。缺失的是给定历史后的上鞅约束；“平均便宜的机会”若能无限次重新领取，预算已不是同一份。

非负性也不能去掉：从零开始的对称随机游走会以正概率达到正水平，而以初值期望零套用本定理会错误地给出零上界。允许负财富时，失败路径可以承担任意债务，前面的点态下界随即失效。

Doob 的有限时间尾界以非负下鞅的终点期望为预算；本定理以非负上鞅的初始期望为预算。非负鞅同时满足两种方向，因此处在两者交集，但一般上鞅不能直接当下鞅使用。

推论与应用

若每个零假设分布下的证据过程都满足这些条件，在首次 $M_t\ge1/\alpha$ 时拒绝，就在任意查看频率下控制误拒概率。检验鞅与 e-process把这个结论组织成统计证据的定义，并解释为何一般 e-process 也能保留停时读取保证。

混合序贯边界先把一族指数上鞅平均，再用本定理把财富阈值转成观测和的弯曲边界。序贯概率比检验则以似然比鞅提供具体证据过程；双边决策仍需分别校准两类错误。

没有越界只表示尚未积累足够反对证据，不能据此宣布零假设为真。Ville 保证错误概率，却不保证检验会停止、具有高功效或所需样本量很小。

参考资料

Rick Durrett, Essentials of Stochastic Processes, 2nd ed., Springer, 2012；链接为 December 2011 作者稿，§5.5，Lemma 5.18，稿内 p. 172。
Aaditya Ramdas, Peter Grünwald, Vladimir Vovk, Glenn Shafer, Game-Theoretic Statistics and Safe Anytime-Valid Inference, Statistical Science 38(4), 576–601, 2023，§2.5。
Jean Ville, Étude critique de la notion de collectif, Gauthier-Villars, 1939，历史来源。