同一份“重抽很多次”的程序，可以在不同问题里逼近不同对象。本终点依次改变估计目标、目标的可微性、设计分组和特征坐标，要求每次都核对抽样单位与误差尺度。返回学习路线。

使用小规模有放回重抽、无放回子样本、野生回归重抽及杠杆和学生化残差的明确输入合同。以下小表的精确条件概率，不等于渐近区间已在小样本下具有精确覆盖。

任务一的端点定理限定均匀总体；若对输入条件还不熟悉，可先复习分布收敛，辨认子样本定理假设的原始根极限。

任务三的渐近合同还要求设计极限矩阵正定，并以标准正态分布作为对比根的极限。

任务四只有在另加联合正态误差时才使用精确Student t分布校准；杠杆与删行恒等式本身仍不需要正态。

任务一：未知两个端点时，指数极限还能原样使用吗 ​

现在观察Uniform(a,b)，a<b都未知，目标是宽度w=b−a。取n≥2，L_n=min X_i、U_n=max X_i、R_n=U_n−L_n。证明n(w−R_n)/w的极限，说明m条经验有放回重抽的相应修复，再用资料(1,2,4,5,8,10)、m=3列出完整条件分布。与无放回b_s=3比较，这里的b_s表示子样本大小，不是总体上端b。

答案：要保留两个边界间隙 ​

对于固定s,t≥0且s+t≤n，所有观测都落在(a+sw/n,b−tw/n)的概率为

$$P\{\frac{n(L_n-a)}{w}>s,\frac{n(b-U_n)}{w}>t\}={(1-\frac{s+t}{n})}^n⟶e^{-s-t}.$$

边界处严格不等号没有质量。结合两个边缘尾，这给两个间隙联合趋于独立Exp(1)，故

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{n(w-R_n)}{w}\Rightarrow G,P(G\le z)=1-e^{-z}(1+z)(z\ge 0).\end{array}$$

G是Gamma(2,1)，不是一个指数变量。它的两个独立贡献分别来自未看到的左端和右端。

重抽中令L_m^、U_m^为最小值和最大值，R_m^=U_m^−L_m^*。给定原来的两端与对应索引，其余n−2条资料独立均匀分布在(L_n,U_n)。对固定s,t>0，m>s+t时，落在左右宽度sR_n/m、tR_n/m的记录总数为

$$N_n(s,t)\stackrel{d}{=}2+\mathrm{Bin}(n-2,(s+t)/m).$$

两个端点自己贡献2。所有m次重抽都避开这两段的条件概率为(1−N_n(s,t)/n)^m，恰为两份重抽边界间隙同时超过s、t的概率。若m→∞、m/n→0，则

$$E[m{N}_n/n]=2m/n+(n-2)(s+t)/n\to s+t,\mathrm{Var}(m{N}_n/n)\le (s+t)m/n\to 0.$$

沿正式页的对数余项估计，联合尾趋e^(−s−t)。单边计数也成立；零点原子的概率由抽中任一原端点的概率≤2m/n控制。因此

$$\begin{array}{}\text{(2)}& P^{\ast }\{\frac{m(R_n-R_m^{\ast })}{R_n}\le z\}{⟶}_{P}P(G\le z)\end{array}$$

且因Gamma CDF连续，可取整条CDF的一致收敛。一般无放回子样本结论也适用：n(R_n−w)⇒−wG，b_s/n→0使中心误差可忽略，再利用R_n→w完成尺度换算。

完整小表与两个不同的原子 ​

给定n个互异排序值，有放回m条的最小/最大索引i<j的概率为

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{(j-i+1{)}^m-2(j-i{)}^m+(j-i-1{)}^m}{n^m}.\end{array}$$

这是先限定全部落在[i,j]，再用容斥要求两个端点都出现。i=j时所有抽取都同一条，概率1/n^m。无放回取b_s≥2条，最小i、最大j的概率则是C(j−i−1,b_s−2)/C(n,b_s)，因为两端已选定，内部还须取b_s−2条。

本次R_n=9，两种规则都看根3(9−R^*)/9。完整质量如下，空格项为零：

根值	0	1/3	2/3	1	4/3	5/3	2	7/3	8/3	3
有放回m=3	5/36	1/9	1/9	1/6	1/18	5/36	5/36	1/18	1/18	1/36
无放回b_s=3	1/5	3/20	3/20	1/5	1/20	3/20	1/10	0	0	0

根为零表示同时保留原最小和最大。有放回概率1−2(5/6)^3+(4/6)^3=5/36；无放回概率b_s(b_s−1)/(n(n−1))=1/5。只计算“至少保留一个端点”会得到错误事件。

两张表的3/4分位数分别为2和4/3。按原始n尺度构造上端R_n/(1−c^*/n)，得到27/2与81/7；不能把分母n换成3。这些数只演示规则，不宣称有限六条资料已有75%覆盖。

用精确模型检查渐近声称的边界 ​

Uniform样本极差的标准化V=R_n/w具有密度n(n−1)v^(n−2)(1−v)，0<v<1。可从最小、最大联合密度n(n−1)(u−l)^(n−2)/w^n，对可行左端l积分得到。因此

$$\begin{array}{}\text{(4)}& P(V\le v)=n{v}^{n-1}-(n-1)v^n.\end{array}$$

若r_α是式(4)的α分位数，则[R_n,R_n/r_α]有精确1−α覆盖；总体位置a已被消掉。n=6、α=1/4时，式(4)在3/5的值为729/3125<1/4，在31/50的值为830245379/3125000000>1/4，故r_α∈(3/5,31/50)。精确区间上端落在(450/31,15)，与前面两份小表上端不同。这里的额外保证来自已知Uniform模型的精确极差律，不是更多重抽次数。

任务二：绝对值尖点不用导数，怎样校准 ​

X_i为公平±1，估计θ=|EX|，使用T_n=|X̄_n|。说明为什么普通光滑Delta方法不能在真实均值0处直接使用，而无放回子样本定理仍可用。给定八条资料中六个+1、两个−1，取b_s=3，求完整子样本根及3/5分位数，再与m=3有放回作对照。

答案：连续极限与可微线性化是不同要求 ​

√nX̄_n⇒Z，因此√n|X̄_n|⇒|Z|，其CDF在z≥0为2Φ(z)−1，在负半轴为零，整条连续。绝对值在0处没有导数，不能把不存在的导数代入光滑Delta公式；但子样本定理只要求这份连续极限及√(b_s/n)→0。

固定表中T_8=1/2。设三元子集含k个正号；k=0、1、2、3的组合数为0、6、30、20，总数56。k=1、2时子样本绝对均值为1/3，k=3时为1。于是

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \sqrt{3}(T_{3,I}-T_8)=\{\begin{array}{ll}-\sqrt{3}/6,& \text{概率 }9/14,\\ \sqrt{3}/2,& \text{概率 }5/14.\end{array}\end{array}$$

有放回m=3时正号次数为Bin(3,3/4)；绝对均值为1/3的概率9/16，为1的概率7/16。由于

$$9/16<3/5<9/14,$$

无放回的3/5分位数为−√3/6，有放回则为√3/2，差异不只是某个分母多一位小数。

有限表的根可以为负，虽然极限|Z|非负；这并不矛盾，原中心T_8=1/2在如此小的b_s上还不微小。定理要求沿原始随机资料序列使√b_s T_n趋于零，而不是声称每张固定小表都长得像最终极限。若要构造原θ区间，应把所选根分位数除以√8，不能除以√3。

任务三：不平衡组均值差需要保存哪些波动 ​

设计前三行是(1,0)，后两行是(0,1)，响应(1,2,3,5,9)。目标对比是第二组均值减第一组均值，c=(−1,1)ᵀ。求HC0、HC2、HC3，列出基础Rademacher重抽的完整对比误差分布，并用一次具体重抽比较“重新学生化”与“冻结原尺度”。最后判断混池残差在组间异方差下的长期尺度。

答案：逐行权重留在原组 ​

XᵀX=diag(3,2)，β̂=(2,7)ᵀ，原对比为5。残差e=(−1,0,1,−2,2)，杠杆为前三行1/3、后两行1/2。于是

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\hat{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{C}0}=\mathrm{diag}(2/9,2),{\hat{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{C}2}=\mathrm{diag}(1/3,4),{\hat{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{C}3}=\mathrm{diag}(1/2,8).\end{array}$$

对应对比方差分别20/9、13/3、17/2。三者来自三份不同的残差生成尺度，不能在同一轮代码中随意切换而仍引用原来的条件律。

基础版本有

$${\mathrm{\Delta }}_1^{\ast }=(-{\xi }_1+{\xi }_3)/3,{\mathrm{\Delta }}_2^{\ast }=-{\xi }_4+{\xi }_5.$$

第二个乘子ξ_2乘的是零残差，但仍属于32份等概率符号记录。对比误差Δ_2^−Δ_1^的完整质量为

值	0	每个±2/3	每个±2	每个±4/3	每个±8/3
概率	1/4	1/8	1/8	1/16	1/16

由这张表直接算方差20/9，与式(6)的HC0一致。

取具体乘子(+1,−1,−1,+1,−1)。扰动为(−1,0,−1,−2,−2)，得到β̂^*=(4/3,5)，对比误差−4/3。重新拟合后的残差为(−1/3,2/3,−1/3,0,0)，所以重抽HC0对比方差为2/27，学生化根为

$$\frac{-4/3}{\sqrt{2/27}}=-2\sqrt{6}.$$

若冻结原HC0对比方差20/9，则根为−2/√5。它们是两种统计量；正式页式(4)的证明对应前一种重新学生化规则。

混池残差为何会趋向错误尺度 ​

当前残差池的平均平方是2。均匀有放回从这个池重抽并分回五行，会使两组都使用同一误差方差2，给对比条件方差2(1/3+1/2)=5/3，已经不同于基础野生重抽的20/9。

现在考虑组大小共同增长，比例分别趋3/5、2/5，真实独立误差方差分别为1、4，满足统一四阶矩。真实对比的n倍方差趋于

$$\frac{1}{3/5}+\frac{4}{2/5}=\frac{35}{3}.$$

混池方差却趋于(3/5)·1+(2/5)·4=11/5，从而n倍对比方差趋于

$$\frac{11}{5}(\frac{1}{3/5}+\frac{1}{2/5})=\frac{55}{6}.$$

比例为11/14，并不趋于1。有限样本的统一自由度修正n/(n−2)也趋于1，修不好这个结构差异。野生重抽保留每行属于哪组，通过得分平方平均恢复正确尺度；并不要求每条e_i²都成为该行方差的一致估计。

任务四：小残差、高影响与坐标变换 ​

拟合带截距直线，x=(−1,0,1,2,8)、Y=(1,0,1,0,7)。最后一行的原残差并不最大，检查它的删除影响、外学生化与Cook量。再把特征从(1,x)改成(1,1+2x)，核对哪些量应不变。最后说明只看原满秩为什么不能保证全部删除诊断可用。

答案：删除的是信息，不能只看竖直距离 ​

直接计算

$$(X^{\mathsf{T}}X{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7/25& -1/25\\ -1/25& 1/50\end{array}\right),\hat{\beta }=(7/25,19/25{)}^{\mathsf{T}},$$$$e=(37/25,-7/25,-1/25,-9/5,16/25{)}^{\mathsf{T}},h=(19/50,7/25,11/50,1/5,23/25),\mathrm{RSS}=148/25.$$

此处n=5、p=2、ν=3。最后行h_5=23/25、e_5=16/25。删除公式给

$${\hat{\beta }}_{-5}=(3/5,-1/5{)}^{\mathsf{T}},{\mathrm{RSS}}_{-5}=148/25-\frac{(16/25{)}^2}{2/25}=4/5.$$

剩余方差估计s_{−5}²=(4/5)/2=2/5，进而

$$\begin{array}{}\text{(7)}& r_5^2=96/37<3,t_5^2=64/5,D_5=552/37.\end{array}$$

原残差最大的是第四行，绝对值9/5，远大于最后行16/25；但最后行几乎独自把拟合斜率从负数拉到正数。Cook量记录整条拟合的变化，所以会对这份几何敏感。

如果第五行在看Y之前已指定、且误差确为同方差正态，则t_5=8/√5参考t_2分布，其双侧尾概率为1−8/√74，约0.070。这既不同于正态尾，也不是扫描后选择最大诊断量的整体p值；很大的Cook量不等于一份自动删行的显著性结论。

换特征坐标，不应改变拟合诊断 ​

令

$$R=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right),X^{\prime }=XR.$$

新行正是(1,1+2x)。新系数β̂'=R^(−1)β̂=(−1/10,19/50)，删行系数β̂'_{−5}=(7/10,−1/10)。它们的系数差欧氏平方为544/625；旧坐标下为640/625，两者不同。

但

$$X^{\prime }(X^{\prime \mathsf{T}}{X}^{\prime }{)}^{-1}{X}^{\prime \mathsf{T}}=X(X^{\mathsf{T}}X{)}^{-1}{X}^{\mathsf{T}}=H,$$

因此拟合值、残差、h_5、t_5和D_5完全不变。只比较原始系数的欧氏距离，会把单位和坐标选择误当成统计影响。

若设计改为三行(1,0)、(1,0)、(0,1)，原设计仍满秩，删第三行却只剩第一列方向，第二个系数不可识别。h_3=1恰好记录这件事；残差为零也不表示该行“不重要”。所有含1−h_3的诊断应报告前提不满足，而非加一个小常数继续。

复算与验收 ​

公开精确程序和结果记录保留全部子集与符号枚举、极差端点容斥、删行重拟合和有理矩阵证书。根式比较用有理系数或平方恒等式，未用浮点相等冒充精确。

完成本终点，应能分别指出：原始资料的重复抽样律；给定资料后的重抽律；有限模拟近似的计算误差；学生化的分母来自哪一份拟合；以及哪些结论仅在n增长时成立。代码重放有限记录，完整概率极限仍由正文证明承担。