本原勾股三数组的完整参数化

从一个三数组逆向拆出两个平方 ​

若一个素数同时整除 $a,b$，由 $c^2=a^2+b^2$ 它也整除 $c$；其余两对同理。因此本原三数组的三个数实际上两两互素。

两条边不能都为偶数。若都为奇数，平方模4都是一，$c^2\equiv 2(\mathrm{mod}4)$，也不可能。于是取 $a$ 奇、$b$ 偶，$c$ 也为奇数。将方程重排为

右边两个因子是正整数。它们的共同因子必须整除两者的和 $c$ 和差 $a$，因此互素。

根据整数唯一分解理路算术基本定理Fundamental theorem of arithmetic每个大于一的整数都能按次序无关且唯一地分解为素数乘积。，互素正整数的乘积若为平方，它们各自都必须为平方：一个素因子只能出现在其中一边，它在总乘积中的偶数指数就是它在该边的指数。因此唯一存在正整数 $m>n$，使

相加相减得 $c=m^2+n^2,a=m^2-n^2$，再由正数平方相等得 $b=2mn$。互素性传给 $m,n$；它们不能都为奇数，否则 $c$ 为偶数。因此全部参数条件都从原三数组推出，且正平方根的唯一性证明了参数唯一。

正向公式为什么保留本原性 ​

恒等式

保证勾股关系，但本原性还需条件。因 $m,n$ 异奇偶，$a,c$ 都为奇数。若素数 $\ell$ 同时整除 $a,c$，它是奇数，并整除

消去二，得到 $\ell \mid m,n$，与互素条件矛盾。所以 $gcd(a,c)=1$，三数组本原。

这也说明两种条件分别做什么：互素性排除共同的奇素因子，异奇偶排除残留的共同因子二。它们不是为了让公式好看而附加的约定。

从答案恢复参数 ​

取 $(a,b,c)=(253,204,325)$。先核验 ${253}^2+{204}^2={325}^2$，然后计算

所以 $(m,n)=(17,6)$；两数互素且异奇偶，代回 $2mn=204$。三数组、参数条件与逆向恢复都被同一份整数证书检查。

若输入两条边的次序是 $(204,253,325)$，应先把偶数边放到第二个位置。否则直接代入 $(c+a)/2$ 会遇到半整数，那是约定没有满足，不是平方根算法出错。

去掉一个条件会发生什么 ​

$m=3,n=1$ 虽然互素，但同为奇数，产生 $(8,6,10)$，共同因子为二。$m=4,n=2$ 连互素性也不满足，产生 $(12,16,20)$，共同因子为四。

$m=n$ 产生零边，$n=0$ 也产生零边，因此都不在正整数三数组范围内。允许负参数会重复产生符号变体；本页用 $m>n>0$ 避免这类重复。

本原三数组的斜边必须为奇数，但“斜边为奇数”本身不充分。例如 $(9,12,15)$ 的斜边为奇数，三数却都有公因子三。若要验证本原性，仍须真正检查GCD或合法参数条件。

列尽斜边325的本原答案 ​

固定 $c=325$，问题转成寻找 $325=m^2+n^2$ 的本原表示。两平方和计数理路两平方和的表示计数与本原性Two-square representation count · Jacobi two-square formula · 两平方和表示数通过分配共轭高斯素因子的指数计数并枚举两平方和，区分有序带符号、本原和正无序表示，处理坐标轴与对角线的特殊轨道。已经证明全部正无序表示为

最后一对不互素，排除。把前两对按 $m>n$ 排好，得到恰好两个本原三数组：

第三对参数 $(15,10)$ 会产生 $(125,300,325)$，它是 $(5,12,13)$ 的25倍，不应混入本原列表。这里的“恰好”同时用到了表示计数的穷尽性和本页参数对应的唯一性。

高斯平方解释两个坐标为何这样组合 ​

在高斯整数理路高斯整数的精确算术Gaussian integers · 高斯整数 · Gaussian integer arithmetic把整数格点看成可整除的复数，用范数下降计算GCD与Bézout系数，并以显式核验完成高斯商环中的约简和求逆。中直接平方：

取范数得到 $a^2+b^2=(m^2+n^2{)}^2$。这条计算很好地解释了公式的形状，但它单独并未证明每个本原三数组都来自高斯平方；覆盖全部答案的理由仍是前面的逆向分解证明。

归一化后得到圆的全部有理点 ​

把勾股关系除以 $c^2$，得到单位圆上的有理点 $(X,Y)=(a/c,b/c)$。令 $t=n/m$，参数公式变成

对任意有理数 $t$，分母 $1+t^2$ 非零，代入即可核验 $X^2+Y^2=1$。反过来，圆上任何不等于 $(-1,0)$ 的有理点都有有理数

利用 $Y^2=1-X^2$ 化简，就能恢复上面的两个坐标公式。因此有理参数覆盖除 $(-1,0)$ 外的全部有理点，那个例外需要单独加入，不能被某个有限有理参数表示。

几何上，$t$ 是连接 $(-1,0)$ 与目标点的直线斜率。这个逆映射使“用直线生成圆上的点”成为一个无遗漏的对应，而不仅是一种画图技巧。