缺失数据机制

MCAR 像与内容无关的设备随机丢包。MAR 则允许丢失机会取决于已经记录的年龄或组别；例如已知年龄较大的人更愿意回答收入问题，仍可能是 MAR。若在年龄相同的人中，高收入者更不愿透露收入，缺失还依赖未见收入，就可能是 MNAR。

“随机”不是说各记录被等概率保留，也不是说缺失无关紧要。它描述在指定观测信息条件下的概率关系；更换观测变量或改变采集流程，机制分类可能随之改变。

MAR 仍会使完整病例均值偏离总体 ​

设有限总体有 $100$ 人，协变量 $X$ 对所有人都可见，其中 $X=0,1$ 各 $50$ 人，结果恰为 $Y=X$。在两组内分别随机选取 $5$ 人和 $45$ 人观察 $Y$。是否观察仅依赖已经记录的 $X$，因此对结果缺失而言是 MAR，却不是 MCAR。

总体结果均值为 $(50\cdot 0+50\cdot 1)/100=0.5$；完整病例中的结果均值则为

偏差来自两组在可见结果中的占比改变。若先在每组计算均值，再按全体已知的组别比例各 $1/2$ 加权，得到 $\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot 1=0.5$。这个例子中组内结果恒定，所以计算恰好恢复总体值；一般随机样本只会带来有抽样误差的估计。MAR 本身没有批准直接删除缺失病例。

何时可以在似然中忽略机制 ​

实际观测为 $(r,y_{\mathrm{obs}})$，完整观测似然公理库似然函数Likelihood function固定可观测数据后，由共同支配密度定义、仅在参数间作相对比较的似然函数。是

在 MAR 下，机制项对积分变量不变，因而

要在关于 $\theta$ 的似然推断中删去第一因子，还需 $\theta ,\psi$ 参数可分：允许的联合参数空间是笛卡尔积，不存在把两者绑在一起的约束。Bayesian 推断通常还要求先验分解为 $p(\theta )p(\psi )$；否则对机制参数积分后仍可能留下依赖 $\theta$ 的因子。这里的忽略性针对相应似然或后验推断，不表示任意完整病例统计量都无偏，也不替代重复抽样性质的证明。

MNAR 时因子一般不能提出积分。例如只记录收入超过某个未公开门槛的人，看到的收入密度同时受总体分布和选择概率影响。不同的完整数据模型与选择机制可能生成同一个观测律，形成可识别性公理库统计模型的可识别性Identifiability of a statistical model · Parameter identifiability观测分布能否唯一决定参数或目标，以及对称、观测机制与弱识别造成的边界。障碍；仅增加同类观测未必能解开它。

缺失机制应结合数据采集过程、已知设计信息和科学知识说明。一般不能仅从已观测数据验证 MAR，因为其关键条件涉及看不见的值。可检查特定 MCAR 假设与可见数据是否冲突，但未拒绝某项检验也不证明 MAR 或 MCAR 成立。

在可忽略模型下，可用EM公理库期望最大化算法Expectation-maximization algorithm · EM algorithm · EM 算法交替计算潜变量的条件分布与提高完整数据期望对数似然，以迭代优化观测似然的算法。处理缺失变量的边缘似然；在机制不可忽略或结论对它敏感时，应显式建模选择过程，比较不同机制假设下的结论，并说明额外识别信息来自哪里。

自测 ​

若上述两组都随机观察 $10$ 人，完整病例均值是多少？答案为 $0.5$，且该设计对每人的保留概率均为 $0.2$，与结果无关。若同一组内是否回答还依赖未见的 $Y$，仅按 $X$ 重加权是否足够？通常不足，因为组内可见者也已被选择。