平滑灵敏度

全局灵敏度为所有数据库采用同一个最坏尺度。局部灵敏度只看眼前数据库，可能很小，却可能在相邻输入处突然变大。观察输出的波动大小，就可能推断数据库位于突变的哪一侧。

平滑灵敏度向外查看：距离为 $k$ 的地方即使很不稳定，也按 $e^{-\beta k}$ 打折后纳入当前尺度。于是接近危险位置时，噪声提前逐渐变大，而非跨过边界才突然出现。

一个可直接验证的纯 DP 机制 ​

为展示尺度如何参与证明，$S$ 取对所有输入都有限且严格正的平滑上界，取 $\epsilon >0$ 与 $0<\beta \le \epsilon /2$，发布

这是重尾 Cauchy 噪声。令 $s=2S(D)/\epsilon$，密度为 $h_{m,s}(y)=s/[\pi (s^2+(y-m{)}^2)]$。对固定尺度，$|{\partial }_m\log h_{m,s}(y)|\le 1/s$；改变均值造成的对数密度比至多 ${\mathrm{LS}}_f(D)/s\le \epsilon /2$。

对固定均值，$|{\partial }_{\log s}\log h_{m,s}(y)|\le 1$。相邻尺度的对数差至多 $\beta$，故这一部分损失至多 $\epsilon /2$。把两次改变相加，逐输出得到 $\epsilon$ 的上界，证明纯DP公理库差分隐私Differential privacy · DP · 差分隐私定义用相邻数据集输出分布的乘法比较与加法松弛，限制单条记录对发布结果的影响。。这给出一个自足的充分校准，不是所有噪声分布都能照搬的公式。

阈值查询的完整平滑包络 ​

数据库由五个 bit 组成，记 $k$ 为其中 $1$ 的数量，邻接是翻转一个 bit。查询 $f(k)=\mathbf{1}\{k\ge 3\}$。只有 $k=2,3$ 时一次修改能跨过阈值，因此其局部灵敏度序列为

距离最近的不稳定位置分别为 $2,1,0,0,1,2$，所以平滑灵敏度恰为

例如 $k=0$ 虽然局部灵敏度为零，平滑尺度仍为正，因为两次修改后会遇到不稳定位置。若直接按局部灵敏度加连续噪声，$k=1$ 时会确定输出 $0$，相邻的 $k=2$ 时却输出连续变量；事件“恰好等于零”暴露了尺度突变。

适用代价 ​

Cauchy 分布没有有限均值和方差，所以不能用均方误差描述上述机制的准确性。它的中位数为零，且 $\text{Pr}(|Z|\le 1)=1/2$，可改用误差分位数。采用较轻尾的 Laplace 噪声可得到近似 DP，但其平滑参数与 $\delta$ 要重新配套。

一般查询计算 $S_{\beta }$ 可能很难；定义中的全体数据库上确界不是高效算法。中位数等特殊统计量可以利用有序样本间距构造可计算上界。上界越松，隐私证明仍成立，但准确性收益越小。

这种方法适合“绝大多数数据稳定，极少数配置很敏感”的统计量。正确顺序是先证明尺度的上界与平滑性质，再选择噪声族与参数；不能先观察一个小局部灵敏度就直接套全局灵敏度机制。