位移插值

先抽一对最优匹配的起点与终点 $(x,y)$，然后让这一份质量沿欧氏直线从 $x$ 移到 $y$。所有质量同时按相同比例走过各自路线，所以任意两个时刻之间的平均平方搬运量按时间差的平方缩放。

由同一计划产生的 $(e_s,e_t{)}_{\mathrm{\#}}\pi$ 是 ${\mu }_s,{\mu }_t$ 的可行耦合，成本为

先得到距离上界。对 $0\le s<t\le 1$ 再沿端点用三角不等式：

两端相等，迫使中间各段上界都取等号，从而证明恒速，而不只证明路径连续。

从 ${\delta }_0$ 搬到 ${\delta }_2$，唯一计划配对 $0$ 与 $2$，所以 ${\mu }_t={\delta }_{2t}$，中点为 ${\delta }_1$。线性混合 $(1-t){\delta }_0+t{\delta }_2$ 的中点却把一半质量留在零、一半放到二，没有质量在中间。

在线性混合中，从初始分布到时刻 $t$ 的 $W_2$ 距离为 $2\sqrt{t}$；位移插值的距离则为 $2t$。两条路径虽然端点相同，前者不是按这个参数匀速移动的 Wasserstein 测地线。

再取 ${\mu }_0={\delta }_0$、${\mu }_1=\frac{1}{2}{\delta }_{-1}+\frac{1}{2}{\delta }_1$。最优计划需要拆分，但仍可定义

一维分位数配对给出 $W_2({\mu }_s,{\mu }_t)=|t-s|$，因此没有 Monge 映射并不妨碍测地线存在。

最优计划若不唯一，插值曲线也可能不唯一。即使两端有密度，中间密度的光滑性或统一上界也需要进一步条件；本定义只保证概率测度和有限二阶矩。一般度量空间没有表达式 $(1-t)x+ty$，需改用空间中的最短路径及其概率分布来构造。

位移插值给出沿质量搬运定义的分布中间态，适合解释 Wasserstein 重心和概率测度上的凸性。所谓位移凸性，是泛函沿这类路径满足凸性；它与沿混合 $(1-t){\mu }_0+t{\mu }_1$ 的通常凸性不同，应明确采用哪种路径。