Polish 空间

可分性给空间一套可数的观测坐标；完备化的能力让相容的逐步近似最终对应空间里的对象。二者一起，使无限路径、函数和分布能够使用可数编码，而不在取极限时意外离开模型。

这里允许更换距离，却不允许更换什么叫开集。把靠近边界的点在新距离中拉远，可以阻止一列点在有限距离内逃向被删掉的端点；有限位置上的连续性仍保持不变。

开区间没有被它的通常距离判死刑 ​

在 $(0,1)$ 中，通常距离使 $1/n$（$n\ge 2$）成为没有空间内极限的 Cauchy 列。取

$h$ 是到 $\mathbb{R}$ 的同胚公理库同胚Homeomorphism自身与逆映射都连续的双射，给出两个拓扑空间之间可逆的开集翻译。，所以 $\rho$ 与原拓扑相容；按 $\rho$ 衡量时，$h$ 又是到通常实线的等距双射，因此 $\rho$ 完备。通常有理点在原拓扑稠密，在相同的新拓扑也稠密。因此 $(0,1)$ 是 Polish。此时 $h(1/n)=-\log (n-1)$ 发散，原来的反例列不再是 $\rho$-Cauchy 列。

可分不等于 Polish，完备也不等于 Polish ​

$\mathbb{Q}$ 通常拓扑可分，却不存在相容完备度量。它是可数个闭单点的并，且每个单点内部为空；Baire 范畴定理公理库Baire 范畴定理Baire category theorem以嵌套闭球证明完备空间中的可数稠密开交仍稠密，并用有理数空间和零测稠密交划清边界。禁止非空完全可度量化空间被这样的可数集合覆盖。仅指出通常距离不完备还不能得出这个结论，因为开区间已经说明度量可以更换。

另一方面，不可数集合配离散度量 $d(x,y)=1$（$x\ne y$）是完备空间，但任何稠密集必须包含每个点，因此不可分，也不是 Polish。完备性和可分性处理不同障碍。

子空间要检查哪一种闭合条件 ​

Polish 空间的闭子空间沿用完备度量。更一般地，子空间是 Polish 当且仅当它是原空间的 $G_{\delta }$ 集，即可数个开集之交。[1, §1] 正向和反向都是定理，不能把“Borel 子集”直接替换成 $G_{\delta }$：$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}$ 是 Borel 集，却不是 Polish 子空间。

Cantor 空间与 Baire 空间公理库Cantor 空间与 Baire 空间Cantor space · Baire space用有限前缀、超度量与逐坐标极限构造两种无限序列空间，并直接证明二者紧性的差别。是上述乘积构造最直接的两种实例。前者每个坐标只有两种选择，后者每个坐标有可数种选择；两者都 Polish，但紧性不同。

概率论中常把随机对象的值域选为 Polish 空间。Prokhorov 定理公理库Prokhorov 定理Prokhorov theorem · Prokhorov's theorem · 普罗霍罗夫定理在 Polish 空间上把概率测度族的一致紧性等价为弱拓扑中的相对紧性。在这样的空间上将概率测度的一致紧性转成弱子列收敛。使用定理前，应证明值域拥有所需拓扑，而不是只在记号中给它写上一个度量。

若只关心可测事件，便可遗忘具体拓扑，转到标准 Borel 空间公理库标准 Borel 空间Standard Borel space保留 Polish 拓扑生成的可测结构；通过有理数、拓扑遗忘与完备化反例辨别标准 Borel 条件。。这个步骤保留的结构比同胚少，所以不能把 Borel 同构当成保持距离或紧性的变换。