Kantorovich 对偶性

可把 $\phi (x)+\psi (y)$ 看作一条运输路线的认证成本下界。它不得超过任何真实路线成本；对任意计划平均以后，边缘约束让平均值只剩两侧势的平均，与具体计划无关。

弱对偶因此只需一行：

有限情形的强对偶由线性规划对偶公理库线性规划对偶Linear programming duality · LP duality从线性约束生成对偶界，并以弱对偶、强对偶和互补松弛连接两侧最优解。得到；紧连续情形可通过有限划分逼近成本与测度，再用紧性和一致连续性控制误差。这一步才证明下界可以逼近最优值，不能仅凭弱对偶宣称无间隙。

沿用源质量 $a=(1/2,1/2)$、目标质量 $b=(1/4,3/4)$ 和成本

候选计划成本为 $3$。取势 $\phi =(0,-8)$、$\psi =(1,9)$，则四条路线的势和为

对偶目标为 $(1/2)\cdot 0+(1/2)(-8)+(1/4)\cdot 1+(3/4)\cdot 9=3$。每条实际使用的路线都达到等号，唯一未使用路线的势和低于成本。弱对偶已经足够把这个可行方案钉死为最优，无需再相信求解器的状态文字。

势出现负数并无问题，它们是优化证书而非实际收费。将 $\phi$ 全部加常数 $k$、$\psi$ 全部减 $k$，可行性与目标值都不变，所以势一般不唯一。

一个可行但未达最优的计划也可以与可行势组成证书：原始成本减对偶值是对最优性误差的上界。若边缘约束尚未满足，这个差值就不是同一个原问题的合法最优性间隙，应先修复或控制可行性误差。

固定 $\phi$ 后，可将 $\psi (y)$ 提升到 $\underset{x}{inf}[c(x,y)-\phi (x)]$，这称为成本变换；它自动满足所有路线约束。对距离成本，这种势约束进一步化成 Lipschitz 函数形式；对平方成本，最优势与凸函数相连，通向Brenier 定理公理库Brenier 定理Brenier theorem在绝对连续源和有限二阶矩条件下，平方成本最优计划由唯一的凸梯度映射给出。。两者需要各自的成本结构，不能把任意势都当作凸梯度。