输运的循环单调性

有限离散计划中，若一组使用中的路线违反不等式，可从每条路线取同样一小份质量，循环改送，边缘不变而总成本下降。所以最优方案必须禁止所有有限循环改进。连续支撑中的严格违反可在小邻域内保持，再从这些邻域调配小份质量，得到同样矛盾。

平方成本展开后，所有 $|x_i{|}^2$、$|y_i{|}^2$ 相互抵消，条件成为

两点情形仅要求 $⟨x_1-x_2,y_1-y_2⟩\ge 0$。所有循环都成立则更强：Rockafellar 的循环单调定理使这些点对能放进一个 proper 凸函数的次梯度图公理库次梯度与次微分Subgradient · Subdifferential以全局仿射下界刻画凸函数在不可微点的支撑斜率集合。中。反向可直接核验：把 $\varphi (x_{i-1})\ge \varphi (x_i)+⟨y_i,x_{i-1}-x_i⟩$ 沿循环相加，函数值消去，便得到上面的内积不等式。凸势的全局支撑不等式解释了平方成本下的最优性结构；从支撑势到一般无界分布的完整充分性还须处理可测性与积分，不能只写一个形式对偶便跳过这些步骤。

实线上取 $x_1<x_2$，若却有 $y_1>y_2$，则

交换目标严格降低成本，所以平方成本最优计划不能交叉。这正是一维单调配对的局部理由。

高维的两点单调性公理库单调算子与极大单调性Monotone operator · Maximal monotone operator · 极大单调算子用图上的内积不等式统一凸次微分与旋转关系，并以极大性保证稳定隐式步对每个输入都有唯一解。检查仍可能漏掉循环。令 $J$ 是平面逆时针旋转九十度的线性映射，对任意 $x,x^{\prime }$ 都有 $⟨x-x^{\prime },Jx-J{x}^{\prime }⟩=0$，因此每一对都满足两点单调性。

选 $x_1=(0,0)$、$x_2=(0,1)$、$x_3=(1,0)$，相应 $y_1=(0,0)$、$y_2=(-1,0)$、$y_3=(0,1)$。原配对平方成本和为 $0+2+2=4$。将目标轮换成 $(y_2,y_3,y_1)$，成本和变为 $1+0+1=2$。若三个源点各有质量 $1/3$，平均成本便从 $4/3$ 降为 $2/3$。两点全部过关，三点循环仍能改进。

循环单调性描述的是计划实际承载质量的点对，而不是任意列出的候选路线。即使某个集合满足不等式，也要先构造具有正确边缘的计划，才能谈它是否解决指定输运问题。

在紧空间、连续成本的Kantorovich 对偶公理库Kantorovich 对偶性Kantorovich duality用满足两侧势之和不超过成本的对偶函数，构造可核验的输运最优性证书。版本中，势函数达到等号的集合自动满足循环不等式：沿循环把势相加，源势与目标势总和不变。反方向在平方成本下导向凸势，再结合源分布绝对连续，得到Brenier 最优映射公理库Brenier 定理Brenier theorem在绝对连续源和有限二阶矩条件下，平方成本最优计划由唯一的凸梯度映射给出。。它把有限循环的可改进性连接到连续空间中的梯度结构。