一维单调输运

从左到右给质量编号：第一份极小质量配第一份，第二份配第二份。若两条搬运路线交叉，交换目标不会增大凸位移成本。具体地，当 $x_1\le x_2$、$y_1\le y_2$，

凸函数公理库凸函数Convex function函数在任意凸组合处不超过相同权重下函数值的凸组合。的等长增量随起点增加而增加，给出这条不等式。有限离散情形反复消除交叉，便得到按顺序匹配的计划；一般测度通过离散逼近和成本下半连续性得到同一结论。$p=1$ 时可能有不同计划达到同样成本，单调计划最优不意味着它必唯一。

横轴 $u$ 是累计质量分位；每条竖箭头表示同一份质量的起点与终点。

取 $\mu =\frac{1}{2}{\delta }_0+\frac{1}{2}{\delta }_2$、$\nu =\frac{1}{4}{\delta }_1+\frac{3}{4}{\delta }_3$。公共质量轴分成三段：

• $0<u<1/4$：$0$ 配 $1$，质量 $1/4$
• $1/4<u<1/2$：$0$ 配 $3$，质量 $1/4$
• $1/2<u<1$：$2$ 配 $3$，质量 $1/2$

因此 $W_1=3/2$、$W_2^2=3$。源点 $0$ 的质量被分给两个目标，正说明“分位数耦合总存在”与“确定 Monge 映射总存在”是两回事。

直接执行的扫描算法 ​

对有限加权点集，先分别按位置排序，维护当前源点和目标点的剩余质量。每步搬运两者剩余质量的较小值，然后前进到已耗尽一侧的下一个点；两侧同时耗尽则同时前进。循环不变量是已经越过的所有源质量与目标需求恰好匹配，尚未处理的质量均在当前位置右侧。

每步至少耗尽一个点，所以排序后至多产生 $m+n-1$ 个非零配对，扫描耗时 $O(m+n)$。包括排序的总时间为 $O(m\log m+n\log n)$；若只累加成本，额外工作空间可为常数，不计输入排序存储。

凸性不可省略。例如源点 $0,1$、目标点 $2,3$，各等权，成本取距离平方根。单调配对的未加权成本为 $2\sqrt{2}$，交叉配对为 $\sqrt{3}+1<2\sqrt{2}$，此时交叉更便宜。高维空间又缺少统一的左右顺序，逐坐标排序通常不能保持正确联合分布。

当 $p=1$，还可写成

对公共均匀变量产生的 $X,Y$，有 $|X-Y|={\int }_{\mathbb{R}}|{\mathbf{1}}_{\{X\le t\}}-{\mathbf{1}}_{\{Y\le t\}}|dt$。由Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。交换非负积分；又因 $\{F_{\mu }^{-1}(U)\le t\}=\{U\le F_{\mu }(t)\}$，两事件是同一均匀轴上的嵌套区间，不相等概率恰为 $|F_{\mu }(t)-F_{\nu }(t)|$。于是得到上述 CDF 公式。分位数公式构造计划，分布函数公式则累计各截面的净搬运量。

同一个广义分位函数还可专门观察接近一的尾概率。最大值吸引域公理库最大值吸引域Maximum domain of attraction · Tail quantile criterion for extreme values最大值吸引域把总体尾部与特定极值极限联系起来，尾分位的扩展正则变化同时给出判据与归一化。使用 $U(t)=F^{-1}(1-1/t)$ 的缩放增量来判定极值类型并选择归一化；这个尾部极限问题不要求先计算输运成本。