最大值吸引域

$U(t)$ 是尾概率约为 $1/t$ 的高度。把样本量从 $t$ 放大为 $tx$，典型最大值就从 $U(t)$ 移到 $U(tx)$。判据考察这个位移在合适尺度下是否形成稳定的倍率规律。

普通正则变化比较两个高度的比值，扩展正则变化先减去基准高度，再除以尺度。因此它不仅容纳向无穷增长的幂尾，也容纳对数增长和逼近有限端点的情形。

三个尾分位，一套检验方式 ​

对 Pareto 尾 $\bar{F}(y)=y^{-\alpha }$，$U(t)=t^{1/\alpha }$。取 $\xi =1/\alpha$、$a(t)=\xi t^{\xi }$，则

因此按本页的标准 GEV 坐标应取 $b_n=n^{1/\alpha }$、$a_n=n^{1/\alpha }/\alpha$。若取 $b_n=0,a_n=n^{1/\alpha }$，则得到位置尺度等价的标准 Fréchet 表达，两者没有冲突。

对率一指数分布，$U(t)=\log t$，取 $a(t)=1$，差值恰为 $\log x$，所以 $\xi =0$。

对 $(0,1)$ 均匀分布，$U(t)=1-1/t$，取 $a(t)=1/t$，则

故 $\xi =-1$。这次尺度与剩余端点距离同阶，而不是与高度 $U(t)$ 本身同阶。

几何分布的晶格振荡 ​

设整数值 $X\ge 0$ 满足 $P(X>k)=q^{k+1}$，$0<q<1$。相邻可能最大值之间的间距始终为一，而最大值围绕 $\log n/|\log q|$ 的随机波动也是常数量级。整数取整误差因此不会在极限尺度下消失。

例如取 $q=1/2$，则 $U(t)=\lceil {\log }_{2}t\rceil -1$。对于倍率 $x=2$，$U(2t)-U(t)=1$。无论候选形状 $\xi$ 为何，都有 $h_{\xi }(2)>0$，所以判据会迫使 $a(t)\to 1/h_{\xi }(2)$；但对 $x=\sqrt{2}$，差值沿不同 $t$ 子列在零和一之间变化，除以这个趋向正常数的尺度后仍不收敛。因此全序列不存在这里的非退化线性归一化极值极限；某些子列极限仍可能存在。

先把最大值极限改写为尾概率极限 ​

对候选 $a_n,b_n$，只要 $0<G_{\xi }(x)<1$，就有

这是 $\log (1-p)=-p+o(p)$ 的直接结果。最大值问题于是变成：某个移动高度的单项超越概率，乘样本量后是否稳定。

广义逆怎样把尾高度反过来 ​

尾极限函数 $V_{\xi }(y)=(1+\xi y{)}^{-1/\xi }$ 在内部连续严格递减，它的反演关系是

若尾分位判据成立，$U(nx)$ 相对于 $U(n)$ 的高度趋于 $h_{\xi }(x)$。对固定内部高度 $y$，选两个倍率 $x_{-}<x_{+}$，使 $h_{\xi }(x_{-})<y<h_{\xi }(x_{+})$。当 $n$ 大时，$U(n{x}_{-})$ 与 $U(n{x}_{+})$ 把 $U(n)+a(n)y$ 夹住；由分位的广义逆定义，单项尾概率被相应的 $1/(n{x}_{-})$ 与 $1/(n{x}_{+})$ 夹住。让两个倍率逼近 $h_{\xi }^{-1}(y)$，便得到 $n\bar{F}\to V_{\xi }(y)$，从而得到最大值极限。

反向也使用同一单调夹逼：连续严格单调的极限允许反演，将移动高度的尾概率极限转回分位增量极限。用广义逆而非形式求逆，正是允许原分布有跳跃的原因。

形状与端点的实质联系 ​

$\xi >0$ 时，判据等价于 $x_F=\mathrm{\infty }$ 且 $\bar{F}\in R{V}_{-1/\xi }$。若 $\xi <0$，则 $x_F<\mathrm{\infty }$，并且 $s\mapsto \bar{F}(x_F-s)$ 在 $s\downarrow 0$ 正则变化，指数为 $-1/\xi >0$。

$\xi =0$ 的范围更广。比如在 $0\le y<1$ 上设尾函数 $\bar{F}(y)=\exp [-y/(1-y)]$，则

直接相减可得归一化分位增量趋于 $\log x$。它有有限右端点一，却属于 Gumbel 吸引域。端点是否有限，不能单独判定全部三种类型。

这些条件也为高阈值超额定理公理库Pickands–Balkema–de Haan 阈值定理Pickands-Balkema-de Haan theorem · Peaks-over-threshold limit theorem属于极值吸引域的总体，其高门槛以上的条件超额可由同形状参数的广义 Pareto 分布一致逼近。提供入口：最大值的形状与条件超额的形状由同一套尾分位规律决定。