正则变化函数

幂函数在任何放大倍率下都保留同一种比例。正则变化允许这个比例在有限尺度上有误差，但当基准位置越来越远，误差会消失。

慢变化不是“导数小”的同义词，而是相对尺度的概念。$\log t$ 可以无限增长，$1/\log t$ 可以趋零；把输入扩大固定倍数后，它们的相对变化仍趋零。幂指数描述主尺度，慢变化描述比任意固定幂次更温和的修正。

对数修正不会改变幂指数 ​

令 $f(t)=t^{-\alpha }(\log t{)}^{\beta }$，$t>1$。则

所以无论 $\beta$ 为何，它都属于 $R{V}_{-\alpha }$。若 $\alpha >0$，适当缩放并在小值区补成合法分布后，这可以作为重尾概率 $P(X>t)$。两个总体可能具有相同幂指数而极端概率相差一个趋向无穷的对数因子；“指数相同”不等于“尾概率相同”。

慢变化也可以不收敛。比如

始终在一与三之间振荡。对固定 $x>0$，$\log \log \left(tx\right)-\log \log t\to 0$，正弦的差趋零，且分母至少为一，故 $L(tx)/L(t)\to 1$。

同样有界的振荡，换一个尺度就失败 ​

把它改为 $L_0(t)=2+\sin (\log t)$，取 $x=e^{\pi /2}$。沿 $t_n=e^{2\pi n}$，比值为 $3/2$；沿 $s_n=e^{2\pi n+\pi /2}$，比值为 $2/3$。两条子列给不同结果，故 $L_0$ 不是慢变化，$t^{\rho }{L}_0(t)$ 也不属于任何正则变化指数。

指数尾 $f(t)=e^{-t}$ 也不是有限指数的正则变化：当 $x>1$ 时，$f(tx)/f(t)=e^{-(x-1)t}\to 0$，而 $x^{\rho }$ 对每个有限 $\rho$ 都严格为正。幂尺度与指数尺度不能混用。

为什么极限形状只能是幂 ​

假设比值极限存在且严格为正，暂记为 $g(x)$。分解

便有 $g(xy)=g(x)g(y)$。再令 $h(u)=\log g(e^u)$，得到可测的加法方程 $h(u+v)=h(u)+h(v)$。可测加法函数必为线性函数，所以 $h(u)=\rho u$，也就是 $g(x)=x^{\rho }$。

这说明定义中的幂函数不是任意挑选的模板。只要所有固定倍率的正有限极限存在，倍率复合的一致性就迫使它出现。

从逐点比值到可积分的控制 ​

正则变化的统一收敛定理说：对每个 $0<a<b<\mathrm{\infty }$，上述比值收敛在 $x\in [a,b]$ 上一致。远离零且倍率不无限放大时，可以用一个共同的基准位置控制全部倍率。

更大范围内使用 Potter 界：对任意 $\epsilon >0,A>1$，存在 $t_0$，使 $s,t\ge t_0$ 时

它允许上下各放松一个很小的幂指数，换来对所有足够大输入的统一控制。

这个界如何从统一收敛产生？先考虑慢变化 $L$，固定 $r>1$。当基准足够大时，$L(rv)/L(v)$ 及其倒数都不超过 $r^{\epsilon }$；对 $1\le \lambda \le r$ 的剩余倍率，统一收敛保证比值及倒数不超过 $A$。把 $s/t\ge 1$ 写成 $r^k\lambda$，连续走 $k$ 个固定倍率，再走最后一小段，得到 $L(s)/L(t)\le A(s/t{)}^{\epsilon }$。反向比值同理，最后乘回 $(s/t{)}^{\rho }$。

给定 $\epsilon >0$，先在 Potter 界中使用较小指数 $\epsilon /2$，再固定一个足够大的基准点，就可推出

因此 $\rho <0$ 时 $f(t)\to 0$，$\rho >0$ 时 $f(t)\to \mathrm{\infty }$。Karamata 积分定理公理库Karamata 积分定理Karamata theorem · Karamata integral theorem非临界指数下，正则变化函数的积分主项等于端点函数值乘长度，再除以由幂指数决定的常数。正是用 Potter 界把这些缩放极限安全地传入积分；最大值吸引域公理库最大值吸引域Maximum domain of attraction · Tail quantile criterion for extreme values最大值吸引域把总体尾部与特定极值极限联系起来，尾分位的扩展正则变化同时给出判据与归一化。则用它识别幂尾最大值的正确归一化。