Karamata 积分定理

对纯幂 $t^{\rho }$，结论就是熟悉的积分公式。慢变化修正在固定倍率范围内几乎不变，因此在主要贡献区间里，可以近似把它看成端点值。

但整个积分区间含有极端倍率：下积分缩放后靠近零，上尾积分缩放后延伸到无穷。逐点比值极限只管固定倍率，不能直接覆盖这两端。Potter 界提供一个仍可积的幂函数，把端部控制补齐。

超过门槛的平均大小 ​

设非负随机变量的尾函数满足 $\bar{F}(u)=P(X>u)\in R{V}_{-\alpha }$，其中 $\alpha >1$。将非负指标函数对高度积分，再由Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。交换积分，可得尾积分公式

第一项保留每次超越已经达到的门槛高度，第二项累计门槛之外的额外高度。Karamata 定理给

所以

例如精确 Pareto 尾 $\bar{F}(u)=u^{-2}$（$u\ge 1$）给 $E[X\mid X>u]=2u$。额外超越量的均值是 $u$，全部观测的条件均值才是 $2u$；把两者混在一起会漏掉门槛项。

临界指数不是把分母换成零 ​

若 $f(t)=1/t$，则 ${\int }_1^{x}f(t)dt=\log x$，而 $xf(x)=1$。积分多出一个发散的慢变化因子，不能继续套用常数倍公式。

同属 $R{V}_{-1}$ 的

却有完全不同的上尾可积性：前者积分发散，后者 ${\int }_x^{\mathrm{\infty }}{f}_2(t)dt=1/\log x$。因此对于尾指数 $\alpha =1$，单凭幂指数无法判断均值有限与否；慢变化部分仍可改变答案。

下积分的完整支配步骤 ​

写 $f(t)=t^{\rho }L(t)$，先取足够大的 $a_0\ge a$，使 Potter 界可用。有限前段的积分是常数，而 $xf(x)=x^{\rho +1}L(x)\to \mathrm{\infty }$，所以它除以 $xf(x)$ 后消失。

在剩余积分中令 $t=xu$，得到

对固定 $u>0$，被积函数趋于 $u^{\rho }$。选择 $0<\epsilon <\rho +1$；在指示函数非零的地方，Potter 界给

右侧在 $(0,1]$ 可积，因为 $\rho -\epsilon >-1$。现在才有资格使用支配收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。，得到极限

可积支配不是由“慢变化”一句话自动给出的；它需要一个明确的指数余量。

上尾积分为何给负分母 ​

若 $\rho <-1$，相同换元给

选 $0<\epsilon <-(\rho +1)$，Potter 界提供可积上界 $A{u}^{\rho +\epsilon }$。支配收敛于是给

同一个上界也证明上尾积分确实有限，不需要先把可积性当作额外猜测。

截断矩的分界 ​

对非负 $X$ 和 $p>0$，$E{X}^p=p{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{p-1}\bar{F}(t)dt$。若 $\bar{F}\in R{V}_{-\alpha }$ 且 $\alpha >0$，则被积函数指数为 $p-1-\alpha$：$p<\alpha$ 时尾部可积，$p>\alpha$ 时发散，$p=\alpha$ 必须检查慢变化部分。

对 $p>\alpha$，一个更有信息的有限样本量是截断矩：

减掉末项同样关键。这个表达能量化不断提高截断上限时，原本无限的高阶矩以什么速度增长。