极端超越的 Poisson 点过程极限

把 $n$ 个观测压进单位时间，再把高度除以典型最大值尺度 $a_n$。普通观测都挤向高度零，只有少量极端点仍留在可见区域。每个时刻贡献可见点的概率约为 $1/n$，独立的小概率机会累加后便出现 Poisson 规律。

高度越低，可见点越多，因此强度不是有限总质量的概率密度。这个极限专门观察远离零的稀有区域，而不是要求把全部 $n$ 个点同时变成有限个点。

一个矩形的强度算到底 ​

取精确 Pareto 尾 $P(X>x)=x^{-2}$、$x\ge 1$，则 $a_n=\sqrt{n}$。考虑

这是前半段时间内，归一化高度超过一但不超过二的点。强度为

有限样本中，相关计数是 $\mathrm{Binomial}(\lfloor n/2\rfloor ,3/(4n))$，恰好趋向 $\mathrm{Poisson}(3/8)$。因此该区域没有极端点的概率趋于 $e^{-3/8}\approx 0.6873$。

若另取 $B=(1/2,1]\times (2,\mathrm{\infty }]$，强度为 $1/8$，两区计数极限独立。即便两个区域共享时间区间，只要高度部分不相交，联合稀有类别的极限计数仍独立；有限样本中同一个观测只能落进一类造成的依赖会在极限消失。

为什么必须避开高度零 ​

对每个 $\epsilon >0$，

但让 $\epsilon \downarrow 0$，强度发散。不能把包括高度零的整幅图当成一个有限均值 Poisson 计数区域，也不能将强度 $\mu$ 当作总质量为一的概率分布。

如果观测有高值聚簇，独立 Poisson 点极限也可能失效。比如移动最大值让一个大创新产生相邻两个超越；归一化时间后它们可挤到同一极限时刻，形成簇点过程，见极值指数公理库极值指数与超越聚簇Extremal index极值指数比较平稳序列最大值与同边缘独立样本的极限，量化高超越聚簇对有效极端事件数的影响。。

单区域的均值先由尾比值得到 ​

对矩形 $A=(s,t]\times (x,y]$，其中 $0<x<y\le \mathrm{\infty }$，约定 ${\mathrm{\infty }}^{-\alpha }=0$，正则变化给

时间区间约有 $n(t-s)$ 个观测，因此 $E{N}_n(A)\to (t-s)(x^{-\alpha }-y^{-\alpha })=\mu (A)$。有限个端点取整的影响趋零。

联合计数为何变独立 ​

取若干不交矩形，记 $q_{n,i,j}$ 为第 $i$ 个点落入第 $j$ 个区域的概率。单个点至多进入一个区域，不同 $i$ 则独立公理库独立性Statistical independence从概率表理解独立性，区分两两、相互和条件独立，并用可计算反例澄清零协方差与条件均值的限度。。对任意固定实系数向量 $\theta$，把计数的线性组合视为实随机变量，其指数矩公理库矩母函数Moment-generating function · MGF在存在邻域内以 E[e^{tX}] 编码随机变量各阶矩的函数。可写成

所有区域离零有共同正距离，所以 $\underset{i,j}{max}{q}_{n,i,j}=O(1/n)$，而 $\sum _i{q}_{n,i,j}\to \mu (A_j)$。取对数，用 $\log (1+z)=z+O(z^2)$；二次余量的总和是 $O(1/n)$。极限为

恰好分解成相互独立的 Poisson 指数矩。对任意固定向量 $v$ 令 $\theta =tv$，便在 $t=0$ 的邻域得到线性组合的矩母函数收敛；矩母函数连续性定理及 Cramér–Wold 判据因此给出整个有限计数向量的联合收敛。

要从有限区域计数走到点测度收敛，还需控制整族点测度的概率律。令 $K_j=[0,1]\times [1/j,\mathrm{\infty }]$，每个窗口上的期望计数满足 $C_j:=\underset{n}{sup}E{N}_n(K_j)<\mathrm{\infty }$。给定 $\delta >0$，为各窗口选整数 $m_j$，使 $C_j/m_j<\delta 2^{-j}$；Markov 不等式公理库Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。和可数并集界保证，概率至少 $1-\delta$ 时所有窗口都同时满足 $N_n(K_j)\le m_j$。这样的点测度集合在 vague 拓扑下相对紧：每个紧窗口内只有有界个点，可逐窗抽取，并允许相邻点合并为重数。

这个局部有限点测度空间在 vague 拓扑下是 Polish 空间，所以上述紧控制可由Prokhorov 定理公理库Prokhorov 定理Prokhorov theorem · Prokhorov's theorem · 普罗霍罗夫定理在 Polish 空间上把概率测度族的一致紧性等价为弱拓扑中的相对紧性。转为概率律的弱收敛子列。连续性矩形上的联合计数唯一确定每个子列极限，故整个序列趋向所述 Poisson 随机测度。

最大值与第 k 大值都是空点数问题 ​

最大值不超过 $a_{n}x$，等价于区域 $[0,1]\times (x,\mathrm{\infty }]$ 内没有点。因此

这重新给出 Fréchet 极限，但还保留了更多信息。第 $k$ 大观测不超过 $a_{n}x$，等价于该区域至多有 $k-1$ 个点，所以

同一强度测度因而同时控制最高点、多个极端次序统计量及指定时间窗口中的超越次数。它给出已知尾部归一化下的分布近似；若 $\alpha$ 或 $a_n$ 需要估计，参数不确定性不会自动包含在 Poisson 随机波动里。