Fisher–Tippett–Gnedenko 极值定理

和的极限来自“把若干小和再加起来”，最大值的极限来自“把若干块的最大值再取最大”。若整个样本和每个大块都趋向同一种形状，这种形状在再次取最大并调整位置尺度后必须保持不变。

这种最大稳定性比“某个尾部看起来很长”更严格。它将所有可能的极限压缩到一个形状参数族，而形状参数主要记录右尾是幂型、较快下降型，还是以幂次靠近有限端点。

幂尾：最大值按幂次长大 ​

若 $P(X>x)=x^{-\alpha }$，$x\ge 1$、$\alpha >0$，则对固定 $x>0$ 及充分大的 $n$，

极限为 Fréchet 类型，形状 $\xi =1/\alpha >0$。最大值规模是 $n^{1/\alpha }$，不是普遍的 $\sqrt{n}$。

指数尾：最大值只按对数移动 ​

若 $F(x)=1-e^{-x}$，$x\ge 0$，则对每个固定实数 $x$ 及充分大的 $n$，

这里中心化 $\log n$ 消除主要增长，尺度常数为一，得到 Gumbel 类型 $\xi =0$。

有限端点：放大距离端点的缺口 ​

若 $X$ 在 $(0,1)$ 均匀分布，对固定 $x\le 0$ 及充分大的 $n$ 有

对 $x>0$ 分布函数为一。这是反向 Weibull 类型，$\xi =-1$。最大值本身趋向一；要看非退化波动，必须把剩余缺口放大 $n$ 倍。

有限端点并不自动意味着 $\xi <0$，Gumbel 吸引域也可能有有限端点。若总体在端点含正质量，最大值更会以概率趋一恰好等于端点，通常无法得到这里的非退化连续极限。判定须看完整尾部条件。

从独立分块得到最大稳定性 ​

由分布函数公理库分布函数Cumulative distribution function · CDF实值分布在每个阈值左侧累积的概率，是非降右连续且端点极限为零和一的函数。及独立性，$P(M_n\le x)=F(x{)}^n$。把 $mn$ 个观测分成 $m$ 个独立的 $n$ 大小块，各块的归一化最大值都趋于 $G$，所以它们的最大值趋于 $G^m$。

另一方面，整个 $mn$ 样本也可按 $a_{mn},b_{mn}$ 归一化，极限仍为 $G$。比较这两套位置尺度，需要使用收敛类型引理：同一非退化序列若经两套正尺度仿射变换都取得非退化极限，两极限必属于同一位置尺度类型。于是存在 $A_m>0,B_m$，使

这就是最大稳定性。它是分类的起点，而不是由三个例子归纳猜出来的规律。

仿射复合如何产生三种类型 ​

最大稳定分布的连续性及收敛类型论证可将块倍率扩展到全部实数 $r>0$，并选取连续的仿射映射 $T_r(x)=A_{r}x+B_r$，使

复合关系给 $A_{rs}=A_r{A}_s$、$B_{rs}=A_r{B}_s+B_r$。连续解的尺度必为 $A_r=r^{\xi }$；平移部分在 $\xi \ne 0$ 时为常数乘 $r^{\xi }-1$，在 $\xi =0$ 时为常数乘 $\log r$。调整位置尺度后，可写成

记 $V(x)=-\log G(x)$，则 $V(T_r(x))=V(x)/r$。在标准化点 $V(0)=1$ 处代入，立即解出

这段分类机制说明形状公式从何而来；其中把整数块数推广为连续仿射族，是收敛类型与最大稳定分类的关键技术步骤，不能仅凭有限个样本拟合替代。

最大值吸引域公理库最大值吸引域Maximum domain of attraction · Tail quantile criterion for extreme values最大值吸引域把总体尾部与特定极值极限联系起来，尾分位的扩展正则变化同时给出判据与归一化。接着回答“一个具体 $F$ 是否会进入某种类型、怎样归一化”。它与本页的极限分类分工不同。分析中的极值定理公理库极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。则讨论连续函数在紧集上取到最大最小值，虽然名字接近，对象完全不同。