Wasserstein 距离

$W_1$ 计算平均要搬多远，$p>1$ 更重地惩罚长距离搬运。最后开 $p$ 次方使单位恢复为距离，也是三角不等式所需要的形式。

三角不等式不能只把两个最优计划直接相加。对 $X,Y$ 与 $Y,Z$ 的两份最优计划，先用测度析取公理库测度析取定理Disintegration theorem · Disintegration of measures · 测度分解定理把标准 Borel 空间上的联合测度分解为边缘测度与沿纤维变化的条件概率核。写成 $\nu (dy)K(y,dx)$ 与 $\nu (dy)L(y,dz)$。Polish 空间的 Borel 结构满足该定理的标准 Borel 条件。再定义三元联合律 $\nu (dy)K(y,dx)L(y,dz)$，就同时保留了两份指定的二元边缘。对这份共同律使用 $d(X,Z)\le d(X,Y)+d(Y,Z)$ 与Minkowski 不等式公理库Minkowski 不等式Minkowski inequality$L^p$ 范数满足三角不等式。，得到 $W_p(\mu ,\eta )\le W_p(\mu ,\nu )+W_p(\nu ,\eta )$。两个右侧距离随机变量均有有限 $p$ 阶矩，正是所需的积分条件。

若 $W_p=0$，最优计划只能集中在 $x=y$，因而两边缘相等。有限 $p$ 阶矩则通过独立耦合与 $d(x,y{)}^p\le 2^{p-1}(d(x,x_0{)}^p+d(y,x_0{)}^p)$ 保证成本有限。

对两个点质量，唯一耦合将整份质量从 $x$ 搬到 $y$，所以 $W_p({\delta }_x,{\delta }_y)=d(x,y)$。在实线上，$W_p({\delta }_0,{\delta }_{\epsilon })=|\epsilon |\to 0$；但只要 $\epsilon \ne 0$，两者总变差距离仍为最大值。Wasserstein 看得见两点在几何上接近。

对

单调计划搬运四分之一质量距离 $1$、四分之一质量距离 $3$、剩下二分之一质量距离 $1$。由一维单调计划的最优性公理库一维单调输运Monotone rearrangement transport · Quantile transport按累计质量的相同分位数配对，以消除交叉证明一维凸距离成本的最优性。，

所以 $W_2=\sqrt{3}$，不能把平方成本 $3$ 直接称为 $W_2$。

弱收敛未必控制远处少量质量。令 ${\mu }_n=(1-1/n){\delta }_0+(1/n){\delta }_{n^{1/p}}$，则 ${\mu }_n$ 弱收敛到 ${\delta }_0$，但 $W_p({\mu }_n,{\delta }_0{)}^p=(1/n)n=1$，没有趋零。在 Polish 空间中，$W_p({\mu }_n,\mu )\to 0$ 等价于弱收敛加相对某一基点的 $p$ 阶矩收敛。

$W_p^p$ 在 $p>1$ 时一般不是度量。取点质量 ${\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2$，平方成本从 $0$ 到 $2$ 为 $4$，大于两段平方成本之和 $1+1$，直接违反三角不等式。

一维的 $W_p$ 可以通过分位数配对公理库一维单调输运Monotone rearrangement transport · Quantile transport按累计质量的相同分位数配对，以消除交叉证明一维凸距离成本的最优性。显式计算，多维则一般需要输运优化。$W_2$ 还允许把整个分布沿位移插值公理库位移插值Displacement interpolation · W2 displacement interpolation沿最优耦合直线移动每份质量，在 W2 空间中生成恒速测地线。连续搬动，形成概率测度空间的几何，而非只给一个相似度分数。