Brenier 定理

平方成本最优支撑具有循环单调性公理库输运的循环单调性Cyclical monotonicity in transport以任意有限循环交换都不能降低成本，刻画输运支撑的最优性结构。，因此可包含在凸势的次梯度图中。一般次梯度可能在同一点给出多个方向，这仍允许拆分；但次梯度图中的源点属于凸势的有效定义域。这个凸域承载全部源质量，由 $\mu \ll \mathrm{Leb}$ 可知它有正 Lebesgue 测度，因而内点非空；其边界是零测集。凸函数在定义域内部几乎处处可微，源也不向不可微例外集合赋正质量。对任一这样的可微点，把次梯度支撑不等式公理库次梯度与次微分Subgradient · Subdifferential以全局仿射下界刻画凸函数在不可微点的支撑斜率集合。用于 $x\pm tv$ 并令 $t\downarrow 0$，便迫使所有次梯度等于唯一的梯度公理库梯度Gradient标量函数微分在内积下对应的向量。。于是计划在几乎每个源点只选一个目标。

唯一性还可这样理解：若有两个不同最优映射，它们对应计划的平均仍然最优。可定理的单值化机制要求每个最优计划在几乎每个源点只选择一个目标；平均计划若混合两个不同目标便违反这一点。所以两个映射必须几乎处处相同。

源为 $[0,1]$ 上均匀分布，目标为 $\frac{1}{2}{\delta }_0+\frac{1}{2}{\delta }_1$。取凸势

其梯度在 $x<1/2$ 时为 $0$，在 $x>1/2$ 时为 $1$，因此将左右两半分别送往两个目标。中点不可微，但源在单点的质量为零，不影响计划或最优性。最优成本为 $1/12$。这个例子说明目标含原子完全允许，而最优映射可以不连续。

一维高斯源 $N(m_0,s_0^2)$ 与目标 $N(m_1,s_1^2)$，$s_0,s_1>0$，最优映射为

它是斜率为正的仿射映射，故是凸二次函数的梯度，并把均值、方差推到目标。代入成本得到 $W_2^2=(m_1-m_0{)}^2+(s_1-s_0{)}^2$；也可对任意耦合的中心化变量使用Cauchy–Schwarz 不等式公理库Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。，得到协方差不超过 $s_0{s}_1$，从而证明这是下界。

若源是 ${\delta }_0$，目标是两个点的等权混合，则没有 Monge 映射，最优计划必须拆分，源绝对连续条件不能直接删除。它是一个充分保证，并非每个具体问题的必要条件；例如 ${\delta }_0$ 到 ${\delta }_1$ 仍有唯一映射。

成本改变时，凸梯度结构也可能改变。即使已有一个推前映射，它若不是相应的凸梯度，也不能仅凭可行性称为平方成本最优。高阶光滑性还依赖源、目标密度和区域几何，均不包含在本页结论中。

有了最优映射，就可以逐粒子沿 $(1-t)x+tT(x)$ 搬运，构造位移插值公理库位移插值Displacement interpolation · W2 displacement interpolation沿最优耦合直线移动每份质量，在 W2 空间中生成恒速测地线。。若密度和映射足够光滑，推前约束还可写成涉及 Hessian 行列式的 Monge–Ampère 方程；该微分方程形式需要额外正则性，不能反过来当成定理的定义。