解析集的完美集定理

要在 $A$ 中装入一棵完整的二叉选择树，每次必须找到两个彼此分开的、仍不可数的部分。沿每条二进路径把区域缩到一个点，不同路径会因某次分裂而得到不同点。

若 $A$ 不是闭集，仅让区域直径趋零还不够：极限可能离开 $A$。解析性的用途是给每个候选点携带一个闭关系中的见证，并让见证前缀也一起稳定。最后由闭性把极限留在关系中，再投影回 $A$。

构造中真正需要保存的东西 ​

先为 $X$ 选取一个相容的完备度量公理库完备度量空间Complete metric space每个 Cauchy 序列都在空间内部收敛的度量空间。，以下直径和 Cauchy 条件均使用它。写 $A={\pi }_X(F)$，其中 $F\subseteq X\times {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ 闭。对每个二进有限串 $s$，维护小区域 $U_s$ 和见证前缀 $t_s$，使

不可数。初始时，用可数个直径小于 $1$ 的开球覆盖 $X$，选一个与 $A$ 的交仍不可数的球作为根区域，根见证前缀为空。以后要求子区域闭包落在父区域中、两个兄弟闭包不交、直径小于 $2^{-|s|}$，见证前缀长度随层数增长。

为什么能分成两边？在第二可数空间公理库第二可数空间Second-countable space存在可数拓扑基的拓扑空间。中，不可数集合除去至多可数个点后，剩下的每点的任意邻域都与该集合有不可数交。否则可用可数基覆盖所有只拥有可数交邻域的点，使它们总共仍可数。于是能选两个不同的这种点及分离的小邻域。

每个小邻域内再按见证的下一段前缀作可数分割；至少一块的投影仍不可数，否则全部投影可数。选择它作为下一层。沿路径 $z$，从每层的 $F\cap (U_s\times [t_s])$ 中取一对 $(x_n,y_n)$。嵌套且直径趋零的区域使 $(x_n)$ 成为 Cauchy 列；相容且不断延长的前缀使 $y_n$ 收敛到它们拼成的 $y$。完备性给出 $x_n\to x$，闭集 $F$ 随后包含极限 $(x,y)$，所以 $x\in A$。

兄弟闭包分离保证 $z\ne z^{\prime }$ 时所得点不同；共同前缀越长，两像点距离越小，保证连续。这样同时完成了存在性、单射性和连续性。

完美不代表有厚度 ​

三分 Cantor 集闭且无孤立点，本身就是结论的一份模型，却无内部，Lebesgue 测度为零。其每层保留 $2^n$ 个长度 $3^{-n}$ 的区间，总长度 $(2/3{)}^n\to 0$。

再取 Cantor 集 $C$ 与一个在 $C$ 外的孤立点 $a$。集合 $C\cup \{a\}$ 不可数且闭，却不是完美集，因为 $a$ 孤立。定理给出的子集可以取 $C$，不能把“有完美子集”缩写成“完美”。

解析性不能悄悄删掉 ​

在通常选择公理下，存在不可数实数集不含任何非空完美子集，例如 Bernstein 集。这些集合不是解析集。余解析集也不能在 ZFC 中一概套用同样结论；其完美集性质涉及额外集合论假设。[1, Theorem 4.18]

任意 Borel 集都解析，所以不可数 Borel 集的基数是 $\mathfrak{c}$。这个局部二分不证明连续统假设：它只约束具有指定描述形式的集合，没有覆盖全部实数子集。

定理也是 不可数标准 Borel 空间分类公理库标准 Borel 空间Standard Borel space保留 Polish 拓扑生成的可测结构；通过有理数、拓扑遗忘与完备化反例辨别标准 Borel 条件。的重要输入：先在不可数 Borel 集中找到一份 Cantor 集，再结合可测编码和 Borel 版的双射构造。基数相等只是起点，还要另证编码及逆编码可测。