解析集与余解析集

闭集条件表示：一旦 $(x,y)$ 不合格，某次有限观察就能发现违反条件。投影后只留下 $x$，问“有没有一条永远不出错的见证”。逐个检查某个见证的有限前缀，与在全部无限见证中寻找一个，是不同层次的要求。

投影不保持闭性，甚至不保持 Borel 性。若见证只能取紧空间中的值，闭集沿该坐标的投影仍闭；Baire 空间不紧，使见证可以逃向越来越远的首位或越来越复杂的延续。

先看一个确实变得不闭的投影 ​

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，$F=\{(x,y):xy=1\}$ 闭，因为它是连续函数 $xy$ 的闭水平集。但第一坐标投影为 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$，不闭。点列 $(1/n,n)$ 的第一坐标趋零，见证坐标却没有收敛子列，因而闭性无法把 $0$ 补进投影。这只证明“投影未必闭”，尚未证明“投影未必 Borel”。

无限分支给出真正的非 Borel 例子 ​

把 ${\mathbb{N}}^{<\mathbb{N}}$ 上所有向前缀封闭的树编码为 $\{0,1{\}}^{{\mathbb{N}}^{<\mathbb{N}}}$ 中的点。树空间 $\mathrm{Tr}$ 是闭子空间：违反前缀封闭有一个有限证据。定义

$F$ 闭，因为失败由某个有限前缀不在 $T$ 中见证；$\mathrm{IF}$ 是其投影，所以解析。补集 $\mathrm{WF}$ 是良基树集合，因此余解析。

$\mathrm{IF}$ 实际上是解析完全的：任意 Baire 空间中的解析集都能连续归约到它。闭见证条件可用一棵有限近似树编码，固定输入 $x$ 后保留与 $x$ 相容的见证结点；此树有无限分支恰好表示 $x$ 有见证。结合通用解析集的对角化，得到 $\mathrm{IF}$ 非 Borel。[1, §§4–5] 完全性是额外定理，不是仅凭“存在无限分支”几个字就可推出。

任意高的有限分支还不够 ​

树 $T=\{\varnothing \}\cup \{⟨n⟩0^k:0\le k\le n\}$ 有任意长的结点，却没有无限分支：选择首位 $n$ 后，分支至多再延伸 $n$ 步。若误用有限分支树上的 König 引理，就会把它判错；此树的根有无限多个孩子。

Lusin 分离定理公理库Lusin 分离定理Lusin separation theorem不相交解析集可由 Borel 集分离；用不可分对的逐级细化解释闭见证为何强迫共同极限。说不相交解析集之间仍能放入一个 Borel 分隔集；Souslin 定理公理库Souslin 定理Souslin theorem把双边解析见证精确刻画为 Borel 性，并说明为何一个投影表示或双边半判定类比都不足够。由此刻画“既解析又余解析”等价于 Borel。两个定理说明双边见证有多强，不能把其中任意一边单独删去。

解析集对每个 Borel 概率测度的完备化都可测，并具有 Baire 性质。[1, §4] 因此非 Borel 不等于非 Lebesgue 可测。这里的“解析”也与复分析中的解析函数无关，它描述集合的投影复杂度。