Lusin 分离定理

假设两群点怎么也不能用 Borel 集隔开。把左边分成可数小块，总有一小块仍然难以分开；再对右边做相同操作。解析性提供连续的无限见证，让这种细分可以一直沿着同一条见证路径进行。两边被迫收敛到同一个真实成员，与原先不相交矛盾。

证明并没有逐点决定哪个点属于哪边。它使用可数操作和完备性，说明一个 Borel 分隔集必须存在；一般不能把它读成输入任意集合描述后迅速输出分隔集的算法。

把证明推进到共同极限 ​

非空解析集可写为 $A=f({\mathbb{N}}^{\mathbb{N}})$、$B=g({\mathbb{N}}^{\mathbb{N}})$，其中 $f,g$ 都连续公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。，定义域为Baire 空间公理库Cantor 空间与 Baire 空间Cantor space · Baire space用有限前缀、超度量与逐坐标极限构造两种无限序列空间，并直接证明二者紧性的差别。。假设它们不可分离。从空前缀开始，逐步选延长的前缀 $s_n,t_n$，长度趋于无穷，使

始终不可分离，并且两者直径都小于 $2^{-n}$。为何能选？连续性让当前柱集被可数个更长柱集覆盖，每个像的直径足够小；依次用前面的两个组合规则保留一对不可分离的像。

令 $\alpha =\bigcup _n{s}_n$、$\beta =\bigcup _n{t}_n$。取 $a_n\in A_n$、$b_n\in B_n$，连续性保证它们分别趋于 $f(\alpha )$ 与 $g(\beta )$。如果 $\overline{A_n}\cap \overline{B_n}=\varnothing$，闭集 $\overline{A_n}$ 就已分离这一对，所以两闭包必须相交。结合直径趋零，两极限只能相同。于是 $f(\alpha )=g(\beta )\in A\cap B$，矛盾。

见证前缀必须不断延长。只对两个像集缩小直径，极限可能落在像集外，便无法推出交点确属 $A$ 和 $B$。

分隔集不必等于任何一边 ​

取 $A=(0,1)\setminus \mathbb{Q}$，$B=\mathbb{Q}\setminus (0,1)$。二者不交且 Borel，$C=(0,1)$ 是一个分隔集；它还包含 $(0,1)$ 内的有理点。分离允许这些额外点，不要求恢复 $A$ 的精确成员关系。

取 $A=\mathbb{Q}$、$B=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ 时，唯一分隔集是 $\mathbb{Q}$。它既不开也不闭，所以定理不能升级成开分离或闭分离。两集合闭包都等于实线，也说明“解析集不相交”远弱于“闭包不相交”。

对互补的解析集 $A$ 与 $X\setminus A$ 应用分离，夹在它们之间的 $C$ 只能是 $A$，立即得到 Souslin 定理公理库Souslin 定理Souslin theorem把双边解析见证精确刻画为 Borel 性，并说明为何一个投影表示或双边半判定类比都不足够。。逻辑顺序是先证明分离，再得到双边解析性的 Borel 刻画。

余解析集不具有相同的 Borel 分离性质：存在不相交余解析集，任何 Borel 集都不能把它们分开。[1, Proposition 5.23] 对称的名称并不保证对称的定理；投影与取补的次序确实改变了结构。