Borel 层级

一个 Borel 描述是一棵可数的操作树：叶子是开集，每个内部结点进行取补或可数并。层级记录需要多少轮这种操作。它衡量描述形式，不衡量集合的概率、基数或几何大小。

写出某一层的表达式只给出复杂度上界。同一个集合可能还有更短的描述；若要证明它恰好处于某层，需要另证它不属于更低的类。

有理数的两边不对称 ​

在实线上，$\mathbb{Q}=\bigcup _{q\in \mathbb{Q}}\{q\}$，故 $\mathbb{Q}\in {\mathrm{\Sigma }}_2^0$。它不属于 ${\mathrm{\Pi }}_2^0$：若 $\mathbb{Q}=\bigcap _n{G}_n$，每个 $G_n$ 都因包含稠密的 $\mathbb{Q}$ 而稠密；再把各稠密开集 $\mathbb{R}\setminus \{q\}$ 加进同一可数交，Baire 范畴定理公理库Baire 范畴定理Baire category theorem以嵌套闭球证明完备空间中的可数稠密开交仍稠密，并用有理数空间和零测稠密交划清边界。将给出非空交，但该交其实为空。因此无理数集属于 ${\mathrm{\Pi }}_2^0\setminus {\mathrm{\Sigma }}_2^0$。

从时序量词读出层级 ​

在 Cantor 空间公理库Cantor 空间与 Baire 空间Cantor space · Baire space用有限前缀、超度量与逐坐标极限构造两种无限序列空间，并直接证明二者紧性的差别。中，设 $E_n=\{x:x(n)=1\}$，这是开闭柱集。无限多次出现 $1$ 的集合为

其补集是最终恒零的序列：

$F$ 可数且稠密，每个单点无处稠密。若 $F$ 也是 $G_{\delta }$，便可重复有理数的 Baire 论证得到矛盾。所以这次不仅得到上界，还证明 $F\notin {\mathrm{\Pi }}_2^0$ 与 $I\notin {\mathrm{\Sigma }}_2^0$。

注意 $I$ 的形式是“对每个截止位置，之后存在一次 $1$”，不能误读成“存在一个位置，此后全是 $1$”；交换量词会得到另一个事件。

严格性依赖空间 ​

在不可数 Polish 空间，层级在每个非零可数序数处都不塌缩。[1, Corollary 2.38] 证明通过通用集合及对角化，构造不在指定 $\mathrm{\Sigma }$ 层中的 $\mathrm{\Pi }$ 集。可是有限或可数离散空间中所有集合都开闭，第一层就已包含全部子集。不能脱离承载拓扑宣称每层都有新集合。

连续映射公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。的原像保持每个 Borel 类：开集的原像开，原像又与补集、可数并交换，再作超限归纳公理库超限归纳法Transfinite induction若性质在每个序数处由所有更小序数上的成立推出，则它对全部序数成立。即可。这是用连续编码比较集合复杂度的基础；连续像则未必仍 Borel，需转向解析集公理库解析集与余解析集Analytic set · Coanalytic set以闭集投影定义解析集，通过树的无限分支展示存在性见证及超出 Borel 的边界。。

算术层级公理库算术层级Arithmetical hierarchy · Arithmetic hierarchy · Kleene–Mostowski hierarchy以一阶算术公式中无界数值量词的交替次数，分类自然数集合的有效可定义复杂度。也按交替结构分层，但其对象是自然数集合，以可计算关系及数值量词给出有限层定义。Borel 层级则相对于拓扑从开集出发，允许任意开集参数并沿可数序数迭代。在自然数的离散拓扑中，每个子集都是开集，包括不可算术定义的子集；因此拓扑层级的低层不等于有效定义的低层。